La inmersión es un diffeomorphism

Question

Supongamos $X$ es un liso, compacto, conectada $n$-variedad sin límite en el que se admite una inmersión a $S^n$. Mostrar que si $n>1$, luego esta inmersión es una diffeomorphism.

Gracias por la muy inspirador mentores, aquí tengo algunos pensamientos

$df_x$ es bijective. Porque la tangente planos del dominio tiene la misma dimensión que el dominio; el espacio de la tangente de la codominio tiene la misma dimensión como codominio. Pero dim$X = n$, dim$S^n = n$, lo $df_x$ mapas de dim$n$ dim$n$. Dada la inmersión, $df_x$ es inyectiva, por tanto, bijective.

Por otro lado, $f$ siendo una inmersión dijo en ese $df_x$ es nonsigular, por lo tanto, un local diffeomorphism. Me quedé atrapado ampliación de local diffeomorphism global diffeomorphism. Hay una estrategia general para lograr esto(cuando esto es cierto)?

Gracias.

Answer 1

Una vez que usted sabe que $f$ es un local diffeomorphism, a la conclusión de que es un mundial diffeomorphism usted sólo tiene que demostrar que es bijective. Surjectivity es bastante fácil: Porque $X$ es compacto, $f(X)$ también es compacto, y debido a $S^n$ es Hausdorff, $f(X)$ es cerrado en $S^n$. Por otro lado, el hecho de que $f$ es un local diffeomorphism implica que es un mapa, y por lo tanto $f(X)$ está abierto. Desde $S^n$ está conectado, $f(X)$ es de $S^n$.

De inyectividad es un poco más difícil. La única prueba que conozco utiliza la teoría de cubrir los espacios. Debido a $f$ es un buen local homeomorphism, que es una cubierta de mapa (que es otra forma de demostrar surjectivity), y debido a $S^n$ simplemente se conecta, se deduce que el $f$ es inyectiva.

Un lugar para leer acerca de la cobertura de los espacios está en mi libro Introducción a Topológica de los Colectores.