Podemos mostrar $1-(x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dots)^2=(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}- \dots)^2$ si no sabemos acerca de la Expansión de Taylor?

Question

Supongamos que la humanidad no han descubierto Expansión en Series de Taylor de las funciones trigonométricas o de cualquier función que nos puede ayudar en esto. Lo que significa que no se nos permite sustituir el infinito de la serie de sumas con el correspondiente $\sin x$ $\cos x$ funciones.

¿Todavía se podría mostrar que la siguiente identidad es verdadera para todos los verdaderos $x$?

$$1 - \left( x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \dots \right)^2 = \left( 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \dots \right)^2$$

Answer 1

Como Andrés dice en su comentario, usted puede comparar los coeficientes de $x^{2k}$ en ambas cantidades.

En el lado izquierdo, este coeficiente es $(-1)^k \sum_{i+j=k-1} \frac 1 {(2i+1)!(2j+1)!}$, mientras que en el lado derecho, es $(-1)^k \sum_{i+j=k} \frac 1{(2i)!(2j)!}$.

Multiplicando ambos coeficientes por $(2k)!$, está a la izquierda para demostrar $\sum \binom {2k}{2i} = \sum \binom {2k}{2j+1}$, es decir, que el número de incluso los subconjuntos de un conjunto de tamaño $2k$ es el número impar de subconjuntos.

De hecho esto es cierto para cualquier conjunto no vacío, no sólo los de tamaño uniforme. Para mostrar esta combinatoria, elija un elemento distinguido $x$ de un conjunto $S$ del tamaño de la $n$. Entonces, dado un subconjunto $X \subset S$, el mapa de a $X \setminus \{ x \}$ o a$X \cup \{x \}$, de acuerdo a si $x \in S$ o no. A continuación, puede ver que este es un bijection entre impar tamaño de los subconjuntos de a$S$, e incluso el tamaño de los subconjuntos de a $S$.

Answer 2

Esto se reduce a mostrar $$\tag1\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y),$$ where $\exp(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$, which is more or less straightforward: On the left hand side, the coefficient of $x^ny^m$ is ${n+m\elegir n}\cdot\frac1{(n+m)!}$ and on the right it is $\frac1{n!}\cdot\frac1{m.}$, y estas expresiones son iguales. Ahora nos encontramos con que de verdad (o de hecho arbitrario) $x$ hemos $$\tag2\exp(ix)\exp(-ix)=\exp(0)=1.$$ If we denote the expression in parentheses on the left of your equation with $s(x)$ and on the right with $c(x)$, we see that $\exp(\pm ix)=c(x)\pm(x)$, so that $(2)$ se convierte en $$c^2(x)+s^2(x)=1.$$

Answer 3

Una nota sobre mercio de la solución:

La prueba depende de la muestra que $\sum_{i=0}^k \binom {2k}{2i} = \sum_{j=0}^{k-1} \binom {2k}{2j+1}$.

Esto puede escribirse como $\sum_{i=0}^{2k} (-1)^i \binom {2k}{i} =0$ y esto es la expansión de $0 = (1-1)^{2k}$ por el teorema del binomio.

Como mercio dice, esto es cierto para cualquier $k$, no sólo incluso $k$, desde $0 = (1-1)^{k}$.