Prueba $\lim_{(x,y) \to (-1,8)} xy = -8$ utilizando sólo la definición.

Question

Tengo problemas para probar este límite usando sólo la definición con delta y épsilon.

Necesito ver eso:

$$ \forall\epsilon \ \exists \delta \ : \sqrt{(x+1)^2+(y-8)^2} < \delta \Rightarrow |xy+8|<\epsilon$$

Quiero hacer $|xy+8|$ se parece a la primera mitad. Empiezo por sustituir $t=x+1$ Así que $x=t-1$ y $s=y-8$ Así que $y=s+8$ . Así que lo consigo:

$$ |(t-1)(s+8)+8| = |ts+8t-s-8+8| = |s(t-1)+8t| \leq |s(t-1)|+8|t|$$

Aquí estoy atascado, si uso eso $\delta < 1$ entonces puedo decir que $t-1 > 0$ y como $|s(t-1)| = |s||t-1|$ entonces $|s||t-1| = |s|t-|s|$ lo que significa que me toca a mí:

$$ |(t-1)(s+8)+8| \leq |s|t-|s|+8|t| \leq |s|t+8|t| $$

Creo que tengo que limitarlo por $||(s,t)||$ , por lo que puedo añadir/restringir y simplificar, pero no veo cómo hacerlo. ¿Algún consejo que me puedan dar?

Answer 1

Con la desigualdad $$ |xy+8| \leq |s(t-1)| + 8|t| $$ estás en el camino correcto. La idea ahora es que $s$ y $t$ debe ser muy pequeño ya que el límite toma $x$ a $-1$ y $y$ a $8$ . ¿Puede usted atar $|s|$ y $|t|$ en términos de $\delta$ ? Después de esto debería poder proceder a encuadernar $|xy+8|$ en términos de $\delta$ . Luego puedes decidir cómo quieres elegir $\delta$ en función de $\epsilon$

Answer 2

Para un enfoque ligeramente diferente, considere la siguiente desigualdad. \begin{align} |xy + 8| &= |(x+1)(y-8) \, \, + 8x - y + 16 | \\ &= |(x+1)(y-8)\, \, + 8(x+1) - (y-8)| \\&\leq |(x+1)(y-8)|+ 8|x+1| + |y-8| \\&= |x+1|\cdot|y-8|\, + 8|x+1| + |y-8|\end{align}

Si quieres usar la norma euclidiana, entonces observa que usando la desigualdad anterior tenemos

\begin{align} \| (x,y) - (-1,8) \| < \delta_0 &\Rightarrow |x+1| < \delta_0 \text{ and } |y-8| < \delta_0 \\&\Rightarrow | xy + 8 | < \delta_0^2 + 8\delta_0 + \delta_0.\end{align}

Por lo tanto, dado $\epsilon > 0$ , cualquier $\delta$ tal que $0 < \delta^2 + 8\delta + \delta < \epsilon$ funcionará.