Series infinitas de reciprocas alternas$\frac 1{1\cdot3}-\frac 1{3\cdot 5}+\frac 1{5\cdot 7}-\cdots $

Question

Tener una lectura errónea de la reciente pregunta aquí como $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+3)}$$ y después de haber resuelto esto, yo pensé que iba a publicar como una pregunta a la vez. Es bastante interesante respuesta!

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Editar

Ahora que tenemos una linda soluciones de Jack D'Aurizio y Michael Biro, me gustaría señalar que lo que me llamó la atención fue el hecho de que

$$\begin{align} \sum_{n=0}^\infty=\frac \pi 4-\frac 12&=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac 1{2n+1}-\frac 1{2^{n+2}}\\ \color{red}{\frac 1{1\color{black}{\cdot 3}}-\frac 1{3\color{black}{\cdot 5}}+\frac 1{5\color{black}{\cdot 7}}-\frac 1{7\color{black}{\cdot 9}}+\cdots }&= \left(\color{red}{\frac 11-\frac 13+\frac15-\frac17+\cdots}\right)-\frac 12\\ &=\left(\color{red}{\frac 11-\frac 13+\frac15-\frac17+\cdots}\right)-\left(\frac 14+\frac 18+\frac 1{16}+\frac 1{32}+\cdots \right) \end{align}$$ Es posible reducir la LHS de expansión a la RHS de expansión directamente sin primero saber la respuesta? Si es así, entonces este sería otro método de solución.

Answer 1

Diferente pregunta pero misma técnica:

$$ \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2}\sum_{n\geq 0}(-1)^n\int_{0}^{1}\left(x^{2n}-x^{2n+2}\right)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1-x^2}{1+x^2}\,dx$ $ por lo tanto:

PS

Answer 2

Combina los términos para obtener

$\sum \frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{1}{1 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots = \frac{4}{1 \cdot 3 \cdot 5} + \frac{4}{5 \cdot 7 \cdot 9} + \dots = \sum \frac{4}{(4n+1)(4n+3)(4n+5)}$

Las fracciones parciales (y algunos arreglos cuestionables) dan:

$\sum \frac{4}{(4n+1)(4n+3)(4n+5)} = \sum \frac{1}{2(4n+1)} + \frac{1}{2(4n+5)} - \frac{1}{4n+3} $

$= \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \dots) + \frac{1}{2}(\frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \dots) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \dots)$

$=\frac{1}{2} + (-\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots) = \frac{1}{2} + (\arctan(1) - 1 )=\frac{1}{2} + (\frac{\pi}{4} - 1) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

El rigor es un poco sospechoso, pero bueno, ¡funciona! :)