¿Cuántos enteros$\leq N$ son divisibles por$2,3$ pero no son divisibles por sus poderes?

Question

Cuántos números enteros en el rango de $\leq N$ son divisibles por tanto $2$ $3$ pero no son divisibles por toda potencias $>1$ $2$ $3$ es decir, no divisible por $2^2,3^2, 2^3,3^3, \ldots ?$

Espero que mediante la inclusión–exclusión principio uno puede obtener de dicha fórmula y parte de la fórmula tiene un formulario $$ N-\left[\frac{N}{2} \right]+\left[\frac{N}{2^2} \right]-\left[\frac{N}{2^3} \right]+\cdots -\left[\frac{N}{3} \right]+\left[\frac{N}{3^2} \right]-\left[\frac{N}{3^3} \right]+\cdots+\left[\frac{N}{2 \cdot 3} \right]+\text{algunos términos como $\pm \left[\frac{N}{2^i \cdot 3^j} \right]$} $$

Pregunta. ¿Qué es exactamente el signo de un plazo $ \left[\frac{N}{2^i \cdot 3^j} \right]$?

Answer 1

Las reglas de permiso de todos los números divisibles por $6$, pero con exclusión de los que también divisble por $4$ o $9$.

Esta está dada por:

$$\lfloor\frac{N}{6}\rfloor-\lfloor\frac{N}{12}\rfloor-\lfloor\frac{N}{18}\rfloor+\lfloor\frac{N}{36}\rfloor$$

En primer lugar - Comience por enumerar número de números divisibles por 6.

Término siguiente: Eliminar los números divisibles por 6 y 4. Estos son todos los números divisibles por 12 desde la intersección de los factores primos es $3\times2^2$

Término siguiente: Eliminar los números divisibles entre 6 y 9. Estos son todos los números divisibles por 18 desde la intersección de los factores primos es $2\times3^2$

Término siguiente: Agregar de nuevo en los múltiplos de 36 ya que estos son los números que hemos deducido dos veces; divisible por 6, 4, y 9. Intersección de los factores primos es $2^2\times3^2$.

Answer 2

Queremos contar esos números divisibles por$6=2\cdot3$, pero no los divisibles por$12=2^2\cdot3$ o$18=2\cdot3^2$. Sin embargo, si contamos tanto los números divisibles por$12$ como los divisibles por$18$, hemos contado los divisibles por$36$ dos veces. Por lo tanto, el recuento debe ser $$ \ left \ lfloor \ frac N6 \ right \ rfloor- \ left \ lfloor \ frac N {12} \ right \ rfloor- \ left \ lfloor \ frac N {18} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ frac N {36} \ right \ rfloor $$