Un anillo conmutativo con un grupo de elementos invertibles isomórficos a$\mathbb{Z}$ tiene la característica 2

Question

Deje que$R$ sea un anillo conmutativo. Indica con$R^*$ el grupo de elementos invertibles (esto es una multiplicación de wrt de grupo). Supongamos$R^*\cong \mathbb{Z}$. Necesito mostrar que$1+1=0$ en$R$.

No tengo idea de por qué tal afirmación debería ser cierta. Ni siquiera tengo un ejemplo para un anillo que satisfaga estas suposiciones, así que me encantaría ver uno.

Sugerencias (o soluciones parciales) serán bienvenidas. ¡Gracias!

Answer 1

Sugerencia 1: $-1$ es una unidad y también lo es una potencia de$u$, donde$u$ es un generador de$R^\times$.

Sugerencia 2: $(-1)^2=1$. ¿Cuáles son los elementos de orden finito en$\mathbb Z$?

Answer 2

Sugerencia: Si es$R^{\times}\cong{\mathbb Z}$, en particular, no tiene torsión no trivial; por otro lado, hay$-1\in R^{\times}$.