Demostrar que este número es irracional

Question

El número de $a=0.12457...$ se define como sigue: El dígito de la $n$-º lugar después de que el punto es el primer dígito a la izquierda hasta el punto de que el número de $n\sqrt2$.

Por ejemplo, para $n=1$ hemos

$n\sqrt2=\sqrt2=1.4142...$

y su primer dígito para el punto 1.

Para $n=2$ hemos

$n\sqrt2=2\sqrt2=2.8284...$

y su primer dígito a la izquierda del punto 2.

Para $n=3$ hemos

$n\sqrt2=3\sqrt2=4.2426...$

y su primer dígito para el punto 4.

Me gustaría mostrar que $a$ es irracional.

Answer 1

Considerar los casos de $n=10^k$. Entonces tenemos que la $n$th dígitos de $a$ $k$th dígitos de $\sqrt{2}$. Ahora, si $a$ es racional, entonces se repite con cierta frecuencia, $f$. Pero luego podemos encontrar$d$, de modo que $f\mid 10^{k+d}-10^k$ $k$ lo suficientemente grande. Por lo tanto, lo suficientemente grande como para $k$, $10^{k+d}$th dígitos de $a$ e las $10^k$th dígitos de $a$ debe ser el mismo.

Pero eso significa que $k+d$th dígitos de $\sqrt{2}$ es el mismo que el $k$th dígitos de $\sqrt{2}$ de las grandes suficientemente $k$, y por lo tanto $\sqrt{2}$ repite, y por lo tanto $\sqrt{2}$ es racional, lo cual es una contradicción.