Parece una pregunta tonta, pero sigue apareciendo en los seminarios e incluso después de mucho buscar sigo sin tener idea de lo que significa. Me gustaría ver una definición y algunos ejemplos de cosas que son y no son semiestables, así como por qué es una condición importante en una representación. También se agradecería cualquier buena referencia.
Respuesta
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Un E-rep de $G_K$ (E tampoco $Q_p$ o $\bar{Q}_\ell$ K una extensión de $Q_p$ ) ser semiestable significa básicamente que parece una representación procedente de la cohomología etale de una variedad con reducción semiestable. Sin embargo, no todas las representaciones semiestables surgen de esta manera.
En el $\ell$ -ádico, semiestable es equivalente a que la representación sea unipotente, es decir, que la inercia actúe mediante operadores unipotentes, es decir, que la representación tenga semiestructura unramificada. De hecho, la $\ell$ -El teorema de la monodromía de los ádicos dice que cada $\ell$ -Galois rep es potencialmente semiestable, es decir, se convierte en semiestable después de restringir a algún subgrupo normal de índice finito.
Cuando el representante $V$ es $p$ - adic el análogo es que $V$ debe ser $\mathbf{B}_{st}$ -admisible, donde $\mathbf{B}_{st}$ es el anillo de períodos semiestables. Tendrá que aprender algunas $p$ -la teoría de Hodge para entender esto; una buena fuente es el libro de Fontaine que está disponible aquí: https://www.math.u-psud.fr/~fontaine/galoisrep.pdf
En cuanto a la importancia de la misma: Estoy lejos de ser un experto, y de hecho nunca pienso en representaciones p-ádicas, así que puede que esta no sea la mejor respuesta. Me gusta basarme en la analogía con el $\ell$ -caso de los enfermos. También hay un teorema de monodromía p-ádica, que dice que todas las representaciones de Rham son potencialmente semiestables; de Rham es una condición que no surge en el $\ell$ -ádico como cualquier representación se ve fácilmente que es de Rham. Así que las representaciones (potencialmente) semiestables forman una gran clase de representaciones que tienen buenas propiedades -- de alguna manera son las representaciones que no son tan horriblemente complicadas que no tienes ninguna posibilidad real de estudiarlas con herramientas estándar. Por ejemplo, si tu representación es geométrica en el sentido de que surge como un grupo de cohomología etale, el hecho de que no sea semiestable significa que tienes que empezar a considerar la cohomología de variedades que no se comportan muy bien.
