Grupo de Galois de$x^5-12x+2$ sobre$\mathbb{Q}$

Question

Siempre he sido capaz de calcular los grupos de Galois de polinomios de grado $\leq 4$, pero tengo problemas con los grados más altos. Puedo factor cuadráticas y cúbicas, y obtener las soluciones de allí, pero cuando me encuentro con un polinomio no sé cómo factor, esto es un problema. Hay un canónica método para el cálculo de estos grupos de Galois?

En particular, ¿cómo puedo calcular el grupo de Galois de $x^5-12x+2$? No sé cómo el factor de que el polinomio, así que realmente no sé cómo alguna de las raíces de trabajo.

Answer 1

Aquí es útil lema.

Lema. Deje $f(x)$ ser un polinomio irreducible de grado $p$, $p$ un primo,$\mathbb{Q}$. Si $f(x)$ tiene exactamente dos nonreal raíces en $\mathbb{C}$, entonces el grupo de Galois de $f(x)$ $\mathbb{Q}$ es el grupo simétrico $S_p$.

Para probar esto, deje $G$ ser el asociado grupo de Galois. Uno puede uso del teorema de Sylow en $G$ encontrar un elemento de orden divisible por $p$. Por Cayley del Teorema, $G \cong H < S_p$, $G$ es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico $S_p$. Entonces, uno puede concluir con el hecho de que cualquier $p$ciclo $(1 \ 2 \ \cdots \ p)$ y una transposición (aquí inducida por las dos raíces complejas) totalmente genera $S_p$.

Ahora, todo queda por demostrar es que $f(x) = x^5 - 12x+2$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ y $f$ tiene exactamente dos raíces complejas. Eisenstein en $p=2$ le da el primero. Usted puede utilizar el análisis para deducir el último. La combinación de este con el anterior lema, usted debe conseguir que el grupo de Galois $G$$S_5$.

Answer 2

Por Eisenstein con $p=2$ este es irreductible, de ahí que el grupo de Galois es transitiva y ha pedido divisible por $5$.

Modulo $3$ el polinomio se reduce a $x^5+2\equiv x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$ donde la simple prueba de la posible cuadrática factores muestra que la cuártica factor es irreductible. Un teorema de Dedekind, a continuación, muestra que el Grupo de Galois contiene un $4$-ciclo.

Con un $4-cycle$ y un elemento de orden $5$ conocimiento de la estructura de $S_5$ muestra que usted tiene todo el grupo.

Ver también esta por Keith Conrad en la aplicación de Dedekind del Teorema.

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Tenga en cuenta también que el grupo simétrico $S_5$ es generado por una $5$-ciclo y una transposición. Si usted sabe que tiene exactamente dos raíces reales, la conjugación de dar la transposición que usted necesita. Irreductibilidad da el $5$-ciclo a través de la implicación.

Answer 3

Sugerencia:

Deje $f(x)=x^5-12x+2$

• $f(0)=2$ $f(1)=-9$ IVT tiene al menos una raíz real en $(0,1)$
• $f(-3)<0$ $f(0)>0$ IVT tiene atleat una raíz real en $(-3,0)$
• $f(3)>0$ $f(1)<0$ IVT tiene atleat una raíz real en $(1,3)$

Ahora, sabemos que tiene al menos tres raíz real y mediante el uso de cálculo usted puede demostrar que tiene exactamente tres raíces.(desde $f^{'}(x)=0$ tiene dos soluciones reales que no puede tener más de tres raíz real)

Por lo tanto, usted tiene tres raíces reales y dos raíces complejas y no hay que olvidar que el complejo de raíces deben conjugar.

Nota: también Se puede decir que $f(x)$ es irreducable $\mathbb Q$ mediante el uso de Einstain creteria.