¿$f'$ Y$|f'|$ tienen el mismo conjunto de discontinuidad?

Question

Sea $f$ una función diferenciable. ¿Es cierto que $f'$ es continuo donde $|f'|$ es?

Edición: Más generalmente, ¿es cierto que si $g$ es una función de Darboux, entonces la continuidad en un punto de $|g|$ implica la de $g$ ?

Answer 1

Supongamos $g$ es Darboux y $|g|$ es continua en a$x$. Hay tres casos a considerar: o $g(x)=0$, $g(x)>0$o $g(x)<0$.

Si $g(x)=0$, entonces para cualquier secuencia $(x_n)\rightarrow x$, la continuidad de la $|g|$ implica $|g(x_n)|$ es pequeña para la gran $n$, lo que implica $g(x_n)\rightarrow 0=g(x)$ como se desee. Por lo $g$ es continua en a$x$.

Si $g(x)>0$, a continuación, elegir algunos $\epsilon<g(x)$. La continuidad de la $|g|$ a $x$ implica que hay un $\delta$ , de modo que para cualquier $y$ con $|y-x|<\delta$ hemos $$|g(y)| \in (|g(x)|-\epsilon, |g(x)|+\epsilon)=(g(x)-\epsilon, g(x)+\epsilon)$$ Note that this interval does not contain $0$. If we can show that $g(y)$ is not negative for all such $y$, then we will have established continuity of $g$ at $x$. If $g(y)<0$ for some such $y$, then by the intermediate value property there would be a $z$ between $y$ and $x$ such that $g(z)=0$, but this $z$ would have $|z-x|<\delta$ and $|g(z)| = 0 \noen (|g(x)|-\epsilon, |g(x)|+\epsilon)$, which is a contradiction. So $g$ is continuous at $x$.

El caso restante se $g(x)<0$ es la misma que la anterior con $g$ reemplazado por $-g$.