El espacio compacto de Hausdorff es metrizable si existe una función de separación continua contable

Question

La proposición: Vamos a $X$ ser un compacto Hausdorff espacio. Supongamos que hay contable real de valores de funciones continuas $\{f_n\}_{n \in \mathbb{Z}_+}$ separación de $X$ es decir, para todos los $x, y \in X$ con $x \neq y$, $\exists k:=k(x,y) \in \mathbb{Z}_+$, $f_k(x)\neq f_k(y)$. Vamos $$ d(x,y):=\sum_{n=1}^\infty \frac{\min\{|f_n(x)-f_n(y)|, 1\}}{2^n} $$ Then $X$ is metrizable by $d$.

Quiero demostrar que, para todo conjunto abierto $U$ e $x \in U$existe $B(x;r)$ s.t. $B(x;r)\subset U$ y para todas las $B(x;r)$, existe un conjunto abierto $U$ s.t. $U\subset B(x;r)$. Aquí, $B(x;r):=\{y\in X| d(x,y)<r\}$. Sé $B(x;r)\supset \bigcap_{n \in \mathbb{Z}_+} \{y \in X |f_n(x)-f_n(y)|<r\}$, pero el término correcto es no abrir.

Cómo probar esta proposición?

Answer 1

Voy a denotar $\Bbb Z^+$ por $\omega$.

$\mathbb{R}^{\omega}$ (en el producto de la topología) es metrisable por la métrica $$D((x_n), (y_n))=\sum_{n \in \omega} \frac{\min(|x_n-y_n|, 1)}{2^n}$$ como es bien conocido, por ejemplo, ver mi respuesta aquí.

Luego de la $f_n$ definimos $F: X \to \mathbb{R}^\omega$ por $F(x)=(f_n(x))_{n \in \omega}$ y tenga en cuenta que $F$ es continua como $\pi_n \circ F = f_n$ es continua para todos los $n$ e donde se $\pi_n$ es la proyección sobre la $n$-ésima coordenada. Esto se desprende de la caracterización de la topología producto como el más pequeño de la topología que hace que todos pprojections continua, y es un estándar de hecho, demostrado en muchos libros de texto.

El hecho de que la $f_n$ puntos separados, significa exactamente eso $F$ es inyectiva (1-1).

Por lo $F: X \to F[X]$ es un continuo bijection entre un espacio compacto y un espacio de Hausdorff (métrica implica Hausdorff) y por lo $X$ es homeomórficos a $F[X]$ y la tira de la espalda métrica de $F[X]\subseteq (\mathbb{R}^\omega, D)$ a $X$ es exactamente $d(x,y)=D(F(x), F(y))$ y como $D$ es una métrica para $F[X]$ e $F$ es un homeomorphism, $d$ (es decir, su métrica en $X$) es una métrica para $X$, según se requiera.

E. g. $B_d(x,r) = F^{-1}[B_D(F(x),r)]$ lo $d$-abrir las pelotas están abiertas y la inversa de imágenes de una base bajo el homeomorphism formar una base, etc.