Cómo resolver desigualdades en las que tenemos términos cuadráticos y la función entera más grande. $$ 2< x^2 -[x]<5$ $ [.] es la función entera más grande.
¿Necesitamos entrar en los casos como [0,1), [1,2) y así sucesivamente?
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aprado
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Sugerencia: utilice $$x-1<[x]\leq x$$ y, a continuación, resolver algunos cuadrática inequalites como
$$ x^2-5<[x] \implies x^2-5<x\implies x^2-x-6<0$$
por lo $x\in (-2,3)$ y así sucesivamente...
- Si $x\in (-2,-1)$ entonces $[x]=-2 $ lo $0<x^2<3$ lo $-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$ lo $x\in(-\sqrt{3},-1)$
- Si $x\in [-1,0)$ ...
Mark Fischler
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Mientras que romper en entero intervalos siempre funciona, a veces es demasiado trabajo.
Digamos que usted tenía $$ 213 < x^2 - \lfloor x \rfloor < 505 $$ Usted realmente no quiere considerar la posibilidad de $24$ de los casos de forma individual.
Así que usted consigue el inteligente y el cambio esta a un par de simultánea de las desigualdades: Vamos a $x = n + y$ con $n \in \Bbb Z$ e $0 \leq y < 1$. A continuación, las desigualdades son $$ \left\{ \begin{array}{l} 213 < (n+y)^2 - n < 505 \\ 0 \leq y < 1 \end{array} \right. $$ Entonces $$213 < n^2 + (2y-1)n +y^2 , 0 \leq y < 1 \implica 213 < n^2 + (1)n + 1 $$ y esto demuestra que $n \geq 15$ (usted puede conseguir que con una aplicación de la fórmula cuadrática), cortar un montón de trabajo. Del mismo modo, $$ n^2 + (2y-1)n +y^2 < 505 , 0 \leq y < 1 \implica n^2 + (-1)n + 0 < 505 $$ y esto demuestra que $n < 23$.
Por último, también se puede justificar sólo el examen de los valores permitidos de $y$ en el límite de los casos ($n = 15$ e $n = 22$); en el medio, cualquier valor de $y$ obras. (Este podría no ser el caso para cúbicos expresiones, por ejemplo).
Así, por ejemplo, en el extremo inferior, usted tendría que resolver para $y$en $$ 213 < (15+y)^2 - 15 = 210 - 30 y + y^2 \\ y^2 -30 y -3 > 0\\ y > \frac12( \sqrt{912} -30 ) \\ x > (\sqrt{228} - 15) + 15 \implica x > \sqrt{228} $$ y del mismo modo es necesario considerar el caso de $n=22$ para obtener el límite superior para la $x$.
