¿Verdadero o falso?
"Si $\pmb{A\in\Bbb R^{3\times3}}$ es una matriz invertible tal que $\pmb{A^2=A}$ entonces $\pmb{\det(2A)=8}$ ".
Es cierto.
Prueba. Partimos de $\det(2A)$ . Entonces, $2^3\det(A)$ . Pero sabemos que $A^2=AA=A$ Así que $A=AA^{-1}$ porque $A$ es una matriz invertible, por lo que $$8\det(A)=8\det(AA^{-1})=8\det(A)\det(A^{-1})=8\det(A)(\det(A))^{-1}=8\det(A)\frac{1}{\det(A)}=8,$$ que es donde queríamos ir. $\square$
¿Es correcto?
¡Gracias!
¡Sí y gracias! Eso es porque $A^2-A=A(A-I)=0$ Así que $A=0$ (absurdo porque $A$ es invertible), por lo que $A=I$ y $\det(I)=1$ ?
En general. $AB=0$ no implica $A=0$ o $B=0$ . Aquí $A^2-A=0$ implica el polinomio mínimo $m_A(x)$ divide $x^2-x=x(x-1)$ . pero $A$ es invertible por lo que $m_A(x)$ no puede ser $x$ y así $m_A(x)=x-1$ , concluyendo $A=I$
Si no sabe lo que es un "polinomio mínimo", también puede observar que $$\begin{align}A^2 &= A \\ \Rightarrow A^2 A^{-1} &= AA^{-1}\\ \Rightarrow A &= I.\end{align}$$ O, a partir de su ecuación $A(A-I)=O$ , multiplica los dos lados de la izquierda por $A^{-1}$ .
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