¿Qué es el PN?

Question

Supongamos que $X_1, X_2, X_3,\ldots, X_n$ son variables i.i.d. Poisson $(\lambda)$

y $g()=\lambda(c - e^{-c})$
c:constante

¿Qué es el PN para $H_0:g()=c1$ vs $H_1:g()=c2$ ??

Mi pensamiento:

Paso 1: Demostramos (propiedad de razón de verosimilitud monótona) $$\forall \lambda_2>\lambda_1\:\: \frac{g(x\mid g(_2))}{g(x\mid g(_1))}$$ y (si no he cometido ningún error) probé $\frac{g(x\mid g(_2))}{g(x\mid g(_1))}$ es no decreciente (creciente) en $$T(X)=\sum(X_i)$$

Paso 2 : después de este punto no estoy seguro de cómo continuar la hipótesis de la función " $g()$ me confunde .

Answer 1

Empecemos por observar que $g(\lambda)$ es una función monotónicamente creciente de $\lambda$ . Esto implica que para cada valor de $g(\lambda)$ habrá un valor único de $\lambda$ ; podemos encontrar un único $\lambda$ tal que $g(\lambda)=1$ y otra tal que $g(\lambda)=2$ . Si encontramos estos $\lambda$ s, nuestro problema se reduce a encontrar la prueba UMP para las dos hipótesis puntuales asociadas a esos dos $\lambda$ y el lema de Neyman-Pearson nos asegura que esa prueba existe.

Lamentablemente, no existe una expresión de forma cerrada para la función inversa de $g(\lambda) = \lambda(1-e^{-\lambda})$ pero podemos encontrarla numéricamente con bastante facilidad a través de cualquiera de los algoritmos de búsqueda de raíces univariantes, por ejemplo, la reducción a la mitad del intervalo:

$$\lambda_1 = g^{-1}(1) \approx 1.35$$ $$\lambda_2 = g^{-1}(2) \approx 2.239$$

Definición de $T(X) = \sum X_i$ como usted ha hecho, nos permite escribir el cociente de probabilidades para $H_1/H_0$ como:

$$\mathcal{L} = 2^{T(X)}e^{-1} \propto 2^{T(X)}$$

Tomar el logaritmo de esta última expresión simplifica las cosas, y es permisible ya que es una transformación monotónica de la razón de verosimilitud. Nuestra tarea consiste entonces en encontrar el valor crítico $c$ para $T(X)$ donde, bajo la hipótesis nula, $T(X) \sim \text{Poisson}(g^{-1}(1)n) \approx \text{Poisson}(1.35n)$ . Si no nos importa si nuestra prueba es exacta, esto equivale a encontrar $\min_c : P(c | n) \geq 1-\alpha$ Por ejemplo, si $n=10$ y $\alpha = 0.05$ entonces $c=20$ , como $P(20|13.5)=0.965$ pero $P(19|13.5) = 0.942$ .

Lamentablemente, como $T(X)$ sólo toma valores enteros, no puede haber $c$ tal que la probabilidad de que $T(X) > c$ en $H_0$ es exactamente igual a nuestro nivel de prueba elegido $\alpha$ . Si queremos una prueba exacta, tendremos que aleatorizar.

Siguiendo nuestro ejemplo, esta aleatorización da como resultado los siguientes criterios:

$\begin{align} &\text{If}\,\, T(x) > 20, \text{reject} \,H_0 \\ &\text{If}\,\, T(x) < 20, \text{don't reject}\,H_0 \\ &\text{If}\,\, T(x) = 20, \text{reject}\, H_0\,\text{with probability}={0.95-0.942 \over 0.965-0.942} \approx 0.348 \end{align}$

donde la aleatorización podría producirse generando un $U(0,1)$ número aleatorio y compararlo con la probabilidad indicada.