Una breve secuencia exacta de $C^*$ álgebras

Question

Ex 4.10.15 Dejemos que $J$ sea un ideal en $C^*$ álgebra $A$ .

1. Dejemos que $C:=C(A,A/J)= \{(a,f) : f:[0,1] \rightarrow A/J, f(0)=0, f(1)=\pi(a)\}$ sea el cono de mapeo del mapa cociente.

2. Dejemos que $Z:=C(C,A) = \{ ((a,f),g) \, : \, g:[0,1] \rightarrow A, g(0)=0, g(1)=a \}$ sea el cono cartográfico del mapa de proyección.

3. Dejemos que $SA:= \{ g \, : \, g:[0,1] \rightarrow A, f(0)=0, f(1)=0 \}$ ser suspenso de $A$ .

Entonces hay una secuencia exacta de $C^*$ álgebras, $$ 0 \rightarrow S(A) \rightarrow Z \rightarrow C \rightarrow 0 \quad (1) $$

(La primera parte es la pregunta original y resuelta por Eric Wofsey)

A continuación hay una segunda parte opcional.

Por lo tanto, demuestre que tenemos exactitud en la mitad de $$K_0(SA)\rightarrow K_0(SA/J) \rightarrow K_0(C)$$

Sabemos que $K_0$ es medio exacta. Incluso si demostramos que $K_0(Z)\cong K_0(SA/J)$ no me queda claro si conmuta con el diagrama de mapas en $(1)$ .

Answer 1

El mapa $S(A)\to Z$ debe ser en cambio $g\mapsto((0,0),g)$ y el mapa $Z\to C$ es sólo la proyección $((a,f),g)\mapsto (a,f)$ . Esto hace que la exactitud en $Z$ obvio: si $((a,f),g)\in Z$ mapas a $0$ en $C$ entonces $(a,f)=(0,0)$ . Esto significa que $g(1)=a=0$ así que $g\in SA$ y $((a,f),g)=((0,0),g)$ es la imagen de $g$ bajo el mapa $S(A)\to Z$ .