Confusión sobre un teorema de homomorfismo en anillo en el libro de texto Análisis I por Amann / Escher

Question

Estoy leyendo la Sección 7: Grupos y Homomorphisms, Capítulo 1: de la Fundación, el libro de texto de Análisis I por Herbert Amann y Joachim Escher.

Primero de todo, yo lo siento por publicar muchas capturas de pantalla. Dado que la información es demasiado complicado para mí, para resumir, no tengo más remedio que hacerlo. Hay una prueba de Observación 8.20(c) que yo no podía entender. He estado atrapado en esta prueba durante dos semanas a pesar de la re-lectura de la prueba muchas veces. Por favor me ayude a superarlo!

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Me quedé atrapado en los siguientes argumentos en Observación 8.20(c).

Claramente, $p = \sum_{\alpha} p_\alpha X^\alpha$ puede ser escrita en la forma $$\sum_{j=0}^n q_j X^j_m$$ for suitable $n \in \Bbb, N$ and $q_j \en K[X_1,\cdots,X_{m-1}]$. Esto sugiere una prueba por inducción sobre el número de indeterminates: Para $m = 1$, la afirmación es verdadera por Observación 8.19(d).

Aquí está el Comentario 8.19(d):

donde el homomorphism (8.22) es

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Mis preguntas:

1. Para $m=1$, $m-1=0$. ¿Qué es $K[X_0]$? El índice de $X$ comienza a partir de $1$ y-dicen los autores - $K[X_1,\cdots,X_{m-1}]$.

2. ¿Qué es $X^j_m$?

Previamente, los autores definen

En mi entendimiento, $X^j_m = \begin{cases}1, &j=m \\ 0, &j\neq m \end{cases}$. Como resultado, $X^j_m \in K$.

3. No puedo ver cómo la Observación 8.19(d) ayuda a demostrar el caso de que $m=1$. Sírvanse explicar en este puntos!

Gracias por su ayuda!

Answer 1

1. La inducción argumento uso de $K[X_1,\dots,X_{m-1}]$ sólo se utiliza para $m>1$. Si tuviera que interpretar al $m=1$ probablemente diría que $K[X_1,\dots,X_{m-1}]=K$, debido a la indexación de conjunto es vacío en ese caso, pero esto no es necesario en este caso, usted puede simplemente ignorar cuando $m=1$ si se confunden.

2. Se están mezclando diferentes notaciones (por supuesto, no son ayudados por las anotaciones en el libro que son increíblemente confuso en mi opinión). Cuando se definen $X_\beta^\alpha$ como $0$ o $1$, lo que quiere decir es que de $X^\alpha$ es una función de $\mathbb{N}^m$ a $R$, y que su valor en $\beta\in \mathbb{N}^m$ es $1$ cuando $\alpha=\beta$. Por otro lado, $X_m^j$ es sólo el $j$th poder del elemento $X_m$ en el ring $R[X_1,\dots,X_m]$. Si quieres ser realmente formal, $X_m$ es el elemento $X^\alpha$ para $\alpha=(0,\dots,0,1)$, con la $1$ en la $m$th ranura. Así que si usted realmente quiere ver $X_m^j$ como una función de $\mathbb{N}^m\to R$ (que no creo que no es una buena idea), es la función que envía a $\beta\in \mathbb{N}^m$ a $1$ si $\beta = (0,\dots,0,j)$, e $0$ lo contrario.

3. No estoy seguro de entender esta pregunta, comentario 8.19(d) es exactamente el caso de $m=1$, lo que podría pensar el vínculo es muy clara. Los morfismos se describe en (8.22) es precisamente la de morfismos se describe en (8.30) cuando $m=1$ (desde $R[X]$ es $R[X_1,\dots,X_m]$ cuando $m=1$), por lo que decir que es inyectiva (que es la observación 8.19(d)) es el caso de la $m=1$ de la observación 8.20(d).