¿Diferencia entre "grupo electrógeno" y producto libre?

Question

Deje que $G$ y $H$ sean grupos libres y $g \in G$ . ¿Hay alguna diferencia entre $\langle H, G\rangle$ y el producto gratuito $H*G$ ? En particular es $\langle H ,g \rangle = H * \langle g \rangle$ ?

Answer 1

Dado que ninguno de estos puntos en las respuestas anteriores, a pesar de que la respuesta a su pregunta, me gustaría añadir algunos comentarios. No voy a agregar un nuevo contraejemplo, ya que las otras respuestas cubierta ya que, sólo tiene que añadir un punto de vista más abstracto.

Primero de todo, hay una diferencia esencial entre el $\langle G,H\rangle$ e $G*H$, es decir, $\langle G,H\rangle$ presupone que $G$ e $H$ están incrustados en algunos de los grupos grandes, que voy a llamar a $K$, mientras que el producto gratuito no. El grupo de operación $K$ puede imponer relaciones en $G$ e $H$ que no están presentes en el producto libre (que no tiene las relaciones entre los elementos de $G$ y los elementos de $H$).

Qué significa esto concretamente es que si tenemos en cuenta la homomorphism $\phi:G*H\to K$ dado por la característica universal de la libre producto, su imagen es $\langle G,H\rangle$, y su núcleo nos dice si o no $G*H$ e $\langle G,H\rangle$ son isomorfos (técnicamente esto sólo nos dice si son naturalmente isomorfos, pero vamos a ignorar que la tangente).

Los elementos del núcleo de $\phi$ será el de las relaciones entre los elementos de las $G$ e $H$ impuesta por el grupo de operación $K$.

Si nos fijamos en giannispapav/Dietrich Burde del contraejemplos, si dejamos $K=G=H=F_n$ ser libre de los grupos, a continuación, $\langle G,H\rangle =K$, e $G*H=F_{2n}$, y el mapa envía la palabra $g_1h_1g_2h_2\cdots g_nh_n$ en $G*H$ el resultado de evaluar este producto en $K$.

Las relaciones se $g_Gg^{-1}_H=1$, donde $g_G$ es un elemento $g$ de $K$ considera como un elemento de $G$, $g^{-1}_H$ es la inversa del mismo elemento $g$ de $K$ considera como un elemento de $H$.

Answer 2

En general, sí hay una diferencia entre estos dos grupos. Por ejemplo, considere los subgrupos $2\mathbf Z$ e $3\mathbf Z$. Luego tenemos a $\langle 2\mathbf Z , 3\mathbf Z\rangle = \mathbf Z$, pero $2\mathbf Z\ast3\mathbf Z = 2\mathbf Z\ast\langle 3\rangle\cong\mathbf Z\ast\mathbf Z$ no es un grupo abelian, ya que no imponen ningún relaciones de conmutación entre los elementos de (la isomorfo copia de) $2\mathbf Z$ y de los elementos de (la isomorfo copia de) $3\mathbf Z$.

Answer 3

Como @Dietrich Burde sugiere que puede tomar $H=G=$ (cualquier grupo libre $F_n,n\ge1$ ) y luego $\langle G,H\rangle=H=G$ y $H*G$ no es isomorfo a $H$