¿Por qué la geometría simpléctica es el escenario natural de la mecánica clásica?

Question

Estaba leyendo esta muy bonito documento, para entender por qué la geometría simpléctica es el escenario natural para la mecánica clásica. Yo más o menos se entiende el por qué no es, naturalmente, una 2-forma en que surge. Sin embargo, yo realmente no entiendo el argumento hacia el final :

[...]Todo lo que queda es para explicar por qué ω debe ser cerrado, es decir, ¿por qué dw = 0. Lamentablemente no veo cómo explicar que sin un poco más de notación, pero no será tan malo. Este requisito corresponde a un poco más sutil cuestión, a saber, que las leyes de la física no debe depender del tiempo. Vamos Ft denotar la el tiempo-t caudal a lo largo del vector de campo correspondiente a algunas de Hamilton H. Una forma natural para obtener las leyes de la física en el tiempo t es mirar el pullback Ft*ω. Queremos que la igualdad de ω. Claramente lo hace en el momento 0, de modo que para comprobar que siempre lo hace simplemente diferenciar con respecto a t, de la siguiente manera.

¿Qué quiere decir con : "Una forma natural para obtener las leyes de la física en el tiempo t es mirar el pullback $F_t^*\omega$"? ¿Por qué es eso? Y ¿por qué queremos que sea igual a $\omega$?

Answer 1

En este establecimiento $\omega$ es "las leyes de la física" (más precisamente, se trata de "las leyes de la mecánica clásica"). Es el objeto que convierte la energía $H$ en la dinámica de la $V$ (que es lo que las leyes de Newton hacer en el más habitual). Además, en este establecimiento $F_t$ es el diffeomorphism que "se mueve el reloj perverso por $t$ segundos", por lo $F_{t}^{-1}$ "mueve el reloj hacia atrás por $t$ segundos", y $F^*_t$ mueve cualquier cantidad física representada por una covariante del tensor de campo (como $dH$ o $\omega$) de volver a lo que fue $t$ segundos atrás. Varios objetos (como algunos otros de la función $K$ a $M$) puede cambiar con el tiempo, por lo que su retirada no será el mismo que el objeto en sí mismo, pero diciendo que la "ley" no cambia precisamente dice que $F^*_t \omega=\omega$.