En este video de vibración Placas de Chladni podemos ver que las pequeñas partículas de arena se alinean en diferentes patrones interesantes (también mostrados en la imagen de abajo) que corresponden a algunas vibraciones particulares.
¿Qué teoría hay detrás de este hecho? ¿Están los patrones creados relacionados con las funciones propias de Laplace de la forma? En caso afirmativo, ¿cómo se relacionan y qué importancia tiene el punto de origen de la vibración?
Lo que se ve en la placa cuadrada son los modos resonantes de la estructura. Cada uno de estos modos tiene una frecuencia particular asociada, y se eleva cuando la placa es conducida a esa frecuencia. Estos modos resonantes actúan como ondas estacionarias en una cuerda La arena se desprende de las partes que se mueven mucho (los nodos) y la arena se desprende de las partes que se mueven mucho (los nodos). La arena rebota de las partes que se mueven mucho (los nodos) y queda en los lugares donde la placa no se mueve en absoluto (los antinodos).
Abordaré sus preguntas específicas con más detalle en orden inverso.
¿qué importancia tiene el punto de origen de la vibración?
Casi nada (con algunas salvedades). Si conduces la placa en uno de sus nodos (un punto en el que se moverá mucho), entonces excitarás el modo resonante más que si lo conduces en un punto que está cerca de un anti-nudo. Sin embargo, esto sólo afectará a la amplitud, no a la forma del modo.
Una advertencia es que si la estructura tiene mucha fricción interna (amortiguación), entonces la estructura de modos cambiará ligeramente y la altura de los nodos se extinguirá a medida que te alejes del punto de origen.
¿Los patrones creados están relacionados con las funciones propias de Laplace de la forma?
No estoy seguro de lo que quieres decir con las funciones propias de Laplace. Como se describe en la sección siguiente, las soluciones son funciones propias de la ecuación de onda bidimensional . El punto de partida de la solución parte de lo que podríamos llamar las eigenfunciones de Fourier, pero las condiciones de contorno (que son complicadas en el caso de una lámina que se mueve libremente por los extremos) cambian estas soluciones en algo completamente diferente.
¿Cuál es la teoría detrás de este hecho?
Este artículo de revista tiene una derivación sistemática de exactamente la situación que usted está preguntando. Este Nota: tiene una derivación más fácil de la situación similar de una membrana rectangular estirada. Puedo repasar aquí los fundamentos del caso de la membrana, y señalar en qué se diferencia de tu caso cuando sea necesario.
Si consideramos un material elástico y escribimos las fuerzas sobre un trozo infinitesimal del material en función de su altura, encontramos que la ecuación que describe la altura de cualquier trozo es la ecuación de onda bidimensional;
$$ \frac{\partial^2 u(x,y,t)}{\partial t^2}=\frac{T}{\rho}\left(\frac{\partial^2 u(x,y,t)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u(x,y,t)}{\partial y^2}\right), $$
donde $T$ es la tensión de la superficie (unidades de fuerza por longitud) y $\rho$ es la densidad de masa (unidades de masa por área). Una forma más simplificada de escribir esta ecuación que se presta mejor a una solución por separación de variables es $$ c^2\nabla^2 u=\frac{\partial^2}{\partial t^2}u $$ donde $c^2=\frac{T}{\rho}$ . En el caso de un material rígido como el suyo, este coeficiente viene dado por $c^2=\frac{m\omega^2}{D}$ donde $D$ es la rigidez cilíndrica del material, $\omega$ es la frecuencia de resonancia, y $m$ es la masa.
Utilizando la separación de variables podemos separar esta ecuación en tres ecuaciones diferenciales unidimensionales independientes; $$ \begin{align} \frac{d^2}{dt^2}G(t)+(c\nu)^2G(t)&=0\\ \frac{d^2}{dx^2}H(x)+k^2H(x)&=0\\ \frac{d^2}{dy^2}Q(y)+p^2Q(y)&=0\\ p^2+k^2&=\nu^2, \end{align} $$ donde $u(x,y,t)=G(t)H(x)Q(y)$ . Las soluciones de esta ecuación pueden considerarse como las funciones propias de Fourier, es decir $\sin$ , $\cos$ , $\sinh$ y $\cosh$ .
Como en todos los problemas físicos, debemos especificar las condiciones de contorno para obtener soluciones físicamente significativas. Por ejemplo, una lámina de goma sujeta por los bordes tiene las condiciones de contorno, $$ u(\pm a, y)=0\qquad\&\qquad u(x,\pm b)=0 $$ donde $2a$ y $2b$ son los $x$ y $y$ dimensiones de la hoja, respectivamente. T
Tu situación es un poco más difícil porque los bordes son completamente libres de moverse. En este caso tienes que incorporar a las condiciones de contorno el hecho de que la placa es un objeto rígido que no necesita estar bajo tensión para apoyarse. Tomándolas del artículo mencionado anteriormente, son $$ \begin{align} \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\nu_p\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}&=\frac{\partial^3u}{\partial x^3}+(2-\nu_p)\frac{\partial^3u}{\partial x\partial y^2}=0\qquad @ x=\pm a\\ \frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\nu_p\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}&=\frac{\partial^3u}{\partial y^3}+(2-\nu_p)\frac{\partial^3u}{\partial x^2\partial y}=0\qquad @ y=\pm b, \end{align} $$ donde $\nu_p$ es un parámetro del material conocido como Relación de Poisson que describe cuánto se expande un material en una dirección cuando se comprime en la otra.
Lo bueno de la solución de la ecuación de onda por separación de variables es que las soluciones que se encuentran forman un conjunto completo de funciones propias para el problema. Además, sus valores propios te indican la frecuencia de resonancia de cada modo particular. La imagen de abajo muestra las soluciones de segundo, tercer y cuarto orden de tu ecuación (tomadas del artículo de la revista de referencia). Cuando excitas estos modos con la arena de la placa, la arena rebota de los puntos altos y se queda en los puntos inmóviles que se llaman líneas nodales . Estas líneas nodales son los lugares donde la solución sigue siendo cero en el diagrama de abajo.
En realidad, las placas de Chladni son no descrito por la ecuación de onda, es decir, por las funciones propias del laplaciano, sino por las funciones propias del operador biharmónico es decir, el Laplaciano al cuadrado. Puede encontrar más información y referencias históricas en un hermoso artículo de Gander y Wanner . Incluso si se intenta derivar la ecuación de onda para una cuerda, utilizando el modelo de "masas conectadas por cuerdas", hay que suponer que está bajo tensión, es decir, que los muelles están preestirados, o se obtendrá el operador biarmónico y no la ecuación de onda.
@GregGraviton Vaya, no sabía que Ritz había hecho contribuciones tan grandes en la resolución de problemas variacionales. t
Tenga en cuenta que el "artículo de revista" que citas tiene un fallo: los modos no satisfacen las condiciones de contorno a menos que $\alpha$ o $\beta$ son cero.
La teoría de las placas vibratorias es un poco más complicada que la utilizada para la vibración de las membranas, como se comentó en una respuesta anterior. Sin embargo, se parte de una placa delgada (se desprecia el cizallamiento como en la teoría de la viga de Euler Bernouilli). La teoría fue desarrollada por Sophie Germain, Poisson y finalmente por Kirchhoff. Así que la teoría de placas de Kirchhoff debería ser lo que estás buscando. Fíjate especialmente en la condición de contorno aplicable en un borde libre derivada por Kirchhoff (dada en una respuesta anterior): ¡no es muy intuitiva! De hecho, las soluciones analíticas sólo se conocen para algunas geometrías determinadas y condiciones de contorno prescritas. Recomiendo la siguiente referencia: Leissa, A. W. (1969). Vibration of plates. Ohio State Univ Columbus. Otra referencia general para la teoría: Graff, K. F. (1975). MOVIMIENTO ONDULATORIO EN SÓLIDOS ELÁSTICOS. Publicación de: Oxford University Press.
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Relacionado con esto: motls.blogspot.cz/2013/04/ernst-chladni-anniversary.html y physics.stackexchange.com/q/78351/2451