Problema
Quiero convertir el general de segundo orden lineal de la PDE problema \begin{align} \begin{cases} a(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+b(x,y) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +c(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\\+d(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+e(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}+f(x,y)u=g(x,y) & \text{in } R \text{ PDE} \\ u=u^* & \text{on } S_1 \text{ Dirchlet boundary condition} \\ \dfrac{\partial u}{\partial n}=q^* & \text{on } S_2 \text{ Neumann boundary condition} \\ \dfrac{\partial u}{\partial n}=r^*_1-r^*_2 u & \text{on } S_3 \text{ Robin boundary condition} \\ \end{casos} \end{align} en una forma débil adecuado para el método de elementos finitos. Que es en la débil forma bilineal $B(u,v)=L(v)$ donde $B$ es bilineal simétrica y positiva definida y funcional $L$ es lineal y funcional.
El trabajo hasta ahora
Sé cómo convertir los siguientes
\begin{align}
\begin{cases}
\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+u=g(x,y) & \text{in } R \text{ PDE} \\
u=u^* & \text{on } S_1 \text{ Dirchlet boundary condition} \\
\dfrac{\partial u}{\partial n}=q^* & \text{on } S_2 \text{ Neumann boundary condition} \\
\dfrac{\partial u}{\partial n}=r^*_1-r^*_2 u & \text{on } S_3 \text{ Robin boundary condition} \\
\end{casos}
\end{align}
en la débil forma bilineal $B(u,v)=L(v)$ donde $B$ es bilineal simétrica y definida positiva y $L$ es lineal. Los pasos son como sigue (nota de que $v$ es nuestra función de prueba)
\begin{align}
\int \int_{R} \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+u \right) v \ dA &= \int \int_{R} g(x,y) v \ dA
\end{align}
El uso de la identidad
\begin{align}
\int \int_{R} v \nabla^2 u\ dA &= \int_{S} v \frac{\partial u}{\partial n}\ ds-\int\int_{R} \nabla u \cdot \nabla v\ dA
\end{align}
Tenemos
\begin{align}
\int \int_R -\nabla u \cdot \nabla v +uv \ dA &= \int \int_R g v \ dA - \int_{S} v \frac{\partial u}{\partial n}\ ds \\
\int \int_R -\nabla u \cdot \nabla v +uv \ dA &= \int \int_R g v \ dA - \int_{S_1} v \frac{\partial u}{\partial n}\ ds- \int_{S_2} v \frac{\partial u}{\partial n}\ ds - \int_{S_3} v \frac{\partial u}{\partial n}\ ds \\
\int \int_R -\nabla u \cdot \nabla v +uv \ dA &= \int \int_R g v \ dA - \int_{S_2} v q^* \ ds - \int_{S_3} v (r^*_1-r^*_2 u) \ ds \\
\int \int_R -\nabla u \cdot \nabla v +uv \ dA &= \int \int_R g v \ dA - \int_{S_2} v q^* \ ds - \int_{S_3} v r^*_1\ ds +\int_{S_3} r^*_2 uv \ ds \\
\int \int_R -\nabla u \cdot \nabla v +uv \ dA +\int_{S_3} r^*_2 uv \ ds &= \int \int_R g v \ dA - \int_{S_2} v q^* \ ds - \int_{S_3} v r^*_1\ ds \\
B(u,v)&=L(v)
\end{align}
Donde estoy teniendo problemas
No sé qué hacer con los términos $$c(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+d(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+e(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}$$ como usar el teorema de la divergencia/integración por partes utilizadas en el trabajo hasta ahora la sección de hojas de términos que no son simétricos y por lo tanto no satisfacen los requisitos para $B(u,v)$.
El otro problema son los términos $$a(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+b(x,y) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$ de la identidad que he usado en el trabajo hasta ahora la sección no funciona (yo soy probablemente equivocado en esta parte).
Yo realmente podría utilizar un poco de orientación en ambos de estos problemas.
Notas
- Esta pregunta es parte de un problema mucho más grande que en el que tengo que usar el método de los elementos finitos. Una vez que el problema está en una forma débil en el que el elemento finito/galerkin método puede ser aplicado sé qué hacer. A partir de lo que sé de la simetría de $B(u,v)$ es esencial. Si hay alguna otra forma débil que trabaja con elementos finitos (que es apropiado para una solución numérica), que sería una aceptable respuesta a mi problema.
- He estado siguiendo "Elementos Finitos: Una Introducción" no he podido encontrar nada en el libro que respondió el problema. Si tienen alguna referencia que cubre mi problema que sería genial (hasta ahora no he encontrado nada).
- También han publicado mi pregunta aquí, para aumentar el interés en mi problema
- Si usted tiene alguna pregunta no dude en preguntar.
La notación
- $n$ es el vector normal a la superficie límite.
- $u(x,y)$ es la solución a la PDE o la educación a distancia. $v(x,y)$ es una función de prueba.
- $\int \int_{R} * \ dA$ es una integral sobre la región de $R$. $\int_{S} * ds$ es una superficie integral sobre la $S$.
- $u^*, q^*, r^*_1, r^*_2, r^*_3$ son constantes o funciones que se usan para definir las condiciones de frontera.
- La superficie (S) de las condiciones de contorno pueden ser divididos en Dirchlet, Neumann, y Robin condiciones de contorno. Que es $S=S_1\cup S_2 \cup S_3$.
