Una expresión para calcular las derivadas parciales de segundo orden de una función definida implícitamente

Question

Dejemos que $\Phi(x,y)=0$ sea una función implícita s.t. $\Phi:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^k\rightarrow \mathbb{R}^n$ y $\det\left(\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x_0,y_0)\right)\neq 0$ . Esto significa que localmente en $(x_0,y_0)$ podemos expresar $x_i$ como funciones de $y$ .

A continuación, podemos calcular las derivadas parciales de $x$ como \begin {Ecuación} \tag {*} \frac { \partial x_i}{ \partial y_j}=- \frac { \det\left ( \left [ \frac { \partial \Phi }{ \partial x_1}, \dots , \frac { \partial \Phi }{ \partial x_{i-1}}, \frac { \partial \Phi }{ \partial y_j}, \frac { \partial \Phi }{ \partial x_{i+1}}, \dots , \frac { \partial \Phi }{ \partial x_n} \right ] \right )}{ \det\left ( \frac { \partial \Phi }{ \partial x} \right )}. \end {Ecuación} Esto es conocido. Lo que me pregunto es:

Q: ¿es posible calcular las derivadas parciales de segundo orden de forma sistemática?

He intentado diferenciar los determinantes mediante la fórmula de Jacobi, pero esto me lleva a expresiones muy complicadas que no puedo manejar. También he expandido los determinantes en ( $*$ ) a lo largo del $i$ (por la que difieren las respectivas matrices) y he probado otros enfoques, pero no parecen llevarme más lejos.

Por otro lado, si se va por un camino directo y se diferencia $\Phi(x,y)$ dos veces, obtengo expresiones que implican tensores o más bien notaciones multiíndice, porque ni las derivadas parciales de segundo orden, ni las derivadas de tipo $\frac{\partial x^i}{\partial y^j}$ son en realidad tensores.

Mi esperanza es que tal vez todavía es posible extraer algunos bonito expresión manejable similar a la que obtuvimos ( $*$ ) de $\frac{\partial x}{\partial y}=-\left[\frac{\partial \Phi}{\partial x}\right]^{-1}\frac{\partial \Phi}{\partial y}$ ?

A continuación, se presenta una relación pregunta .

ACTUALIZACIÓN: Parece que el problema resultó ser más difícil de lo que esperaba (aunque mucha gente me dijo que debe han sido resueltos por alguien). Dado que la esperanza de obtener una respuesta resolutiva se desvanece y la recompensa expirará en un par de días, la concedería con mucho gusto a cualquiera que pudiera indicar una forma de abordar (si no resolver) este problema.

ACTUALIZACIÓN 2: Permítanme ampliar un poco lo anterior. Para ilustrar mi problema, diferenciemos $\left[\frac{\partial \Phi}{\partial x}\right]^{-1}$ por ejemplo $y_i$ : \begin {multline*} \frac { \partial }{ \partial y_i} \left [ \frac { \partial \Phi }{ \partial x} \right ]^{-1}=- \left [ \frac { \partial \Phi }{ \partial x} \right ]^{-1} \frac { \partial }{ \partial y_i} \left [ \frac { \partial \Phi }{ \partial x} \right ] \left [ \frac { \partial \Phi }{ \partial x} \right ]^{-1} \\ =- \left [ \frac { \partial \Phi }{ \partial x} \right ]^{-1} \left [ \frac { \partial ^2 \Phi }{ \partial x \partial x} \right ] \frac { \partial x}{ \partial y_i} \left [ \frac { \partial \Phi }{ \partial x} \right ]^{-1}- \left [ \frac { \partial \Phi }{ \partial x} \right ]^{-1} \left [ \frac { \partial ^2 \Phi }{ \partial y_i \partial x} \right ] \left [ \frac { \partial \Phi }{ \partial x} \right ]^{-1}. \end {multline*} Entonces, ¿qué es $\left[\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x\partial x}\right]\frac{\partial x}{\partial y_i}$ ? ¿Una matriz 3D multiplicada por un vector? ¿Cómo tratar estas expresiones? Para complicar aún más las cosas debemos sustituir ahora $\frac{\partial x}{\partial y_i}$ con la respectiva expresión para las derivadas parciales de primer orden. Se vuelve completamente oscuro y no puedo reconocer ninguna estructura en él.

Answer 1

Voy a publicar una respuesta parcial.

Imagina que tus funciones están dadas por series de Taylor al orden necesario (segundo).

Así, escribimos

$$x_p=h_p(y)=\sum \frac{\partial h_p}{\partial y_k} y_k + \sum_{i,j} \frac{1}{2}\frac{\partial^2 h_p}{\partial y_i \partial y_j} y_i y_j$$

$$\Phi_l(x,y)= \sum_k \frac{\partial \Phi_l}{\partial x_k} x_k + \sum_p \frac{\partial \Phi_l}{\partial y_p} y_p + \sum_{i,j} \frac{1}{2}\frac{\partial^2 \Phi_l}{\partial x_i \partial x_j} x_i x_j+ \sum_{q,r} \frac{1}{2}\frac{\partial^2 \Phi_l}{\partial y_q \partial y_r} y_q y_r+\sum_{p,k} \frac{1}{2} \frac{\partial^2 \Phi_l}{\partial y_p \partial x_k} y_p x_k+ \sum_{p,k} \frac{1}{2} \frac{\partial^2 \Phi_l}{\partial x_k \partial y_p} x_k y_p $$

Ahora, introduzca y siga igualando los coeficientes de $y_i y_j$ a cero. Hay 5 términos en $\Phi_l$ . Contribuyen (en el caso de $i\neq j$ por lo que la suma de los " $y_iy_j$ " y el " $y_jy_i$ "; hay 1/2 factores en todo si $i=j$ ):

1) Nada.

2) $\sum_p \frac{\partial \Phi_l}{\partial y_p} \frac{\partial^2 h_p}{\partial y_i \partial y_j} $

3) $\frac{\partial^2 \Phi_l}{\partial y_i \partial y_j}$

4) $ \sum_{q,r} \frac{\partial^2 \Phi_l}{\partial x_q \partial x_r} \frac{\partial h_q}{\partial y_i} \frac{\partial h_r}{\partial y_j}$

5) $\sum_{p} \frac{\partial^2 \Phi_l}{\partial x_p \partial y_j} \frac{\partial h_p}{\partial y_i} $

6) $\sum_{p} \frac{\partial^2 \Phi_l}{ \partial y_i \partial y_p} \frac{\partial h_p}{\partial y_j} $

Variando $l$ se obtiene $n$ ecuaciones lineales (etiquetadas por $l$ ) en $n$ incógnitas $\frac{\partial^2 h_p}{\partial y_i \partial y_j} $ (etiquetado por $p$ ), por lo que se puede escribir como $A z=b$ con la matriz $A$ del sistema lineal dado por $\Phi_{x}$ . Por lo tanto, estas ecuaciones se pueden resolver. El único problema es escribir el $b$ vector, que es la suma de los términos 3-6, en formato "vectorial".

Tal vez una mejor manera de hacer la contabilidad para esto es utilizar el lenguaje de los árboles como aquí ...