Me encontré con la anotación $ S=\{(a,b] ; a,b\in \mathbb R,a<b\}\cup\{\emptyset\} $
Lo sé. $S$ es una familia de subconjuntos ,un conjunto de intervalos, y desde la teoría de conjuntos $\emptyset$ es un subconjunto de cada conjunto entonces por qué en la notación : $ S=\{(a,b] ; a,b\in \mathbb R,a<b\}\cup\{\emptyset\} $ aparece $\color{red}{\cup\{\emptyset\}}$ ?
Es porque el conjunto vacío $\emptyset$ es un subconjunto de cada conjunto, pero no un elemento de cada conjunto. Es $\emptyset\in S$ y es posible que se quiera mostrar, que los elementos de $S$ definir una topología.
O para ser más claros es $\{1\}\neq\{1,\emptyset\}$ . El conjunto de la izquierda tiene un elemento, el conjunto de la derecha tiene dos elementos, con $\emptyset\in\{1,\emptyset\}$
Parece que $S$ es denotar subintervalos de la recta real que son abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha con la convención de que $\emptyset$ es un subintervalo de este tipo. En cuyo caso no hay nada que mostrar, es sólo una convención que $\emptyset$ es un subintervalo. La razón para utilizar $\{\emptyset\}$ es mostrar que se puede escribir la colección de todos esos subintervalos en una forma agradable.
En cuanto a que el conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto, pues es una verdad vacía. Para todos los $a\in\emptyset$ si $X$ es un conjunto se deduce que $a\in X.$ Esto es cierto, porque no hay $a\in\emptyset.$
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Una forma de entenderlo es escribir $\varnothing$ como $\{\}$ y $\{\varnothing\}$ como $\{\{\}\}$ .