Cuando es una homología de la clase fundamental de la clase?

Question

Deje $X$ ser un verdadero conectado orientable cerrado $n$-dimensional compacta variedad diferenciable.

Conectado orientado cerrado $d$-dimensiones submanifold $i:M\to X$ ($M$ es un verdadero conectado orientable cerrado compacto variedad diferenciable y $i$ es topológico, incrustación de objetos) tiene un fudamental de la clase $[M]\in H_d(M,\mathbb{Z})$. Esto puede ser considerado como un elemento $i_*([M])$ de la singular homología $H_d(X,\mathbb{Z})$.

1. El aceptó responder a esta pregunta de los estados, que un múltiplo $\lambda x$ de cada elemento de $x\in H_i(X,\mathbb{Z})$ $0\leq i\leq n$ es de la forma $i_*([M])$ algunos $M$. Si $n\leq 8$, entonces uno puede optar $\lambda=1$.
2. Una respuesta a esta pregunta, sin embargo, los estados que, por ejemplo, $2[M]$ $M=S^1$ no representable en este camino. También las otras respuestas parecen estar en conflicto con (1.).

Dónde está mi malentendido? Es la primera respuesta no se trata de incrustaciones $i:M\to X$ pero sobre inmersiones $i$ o arbitrarias continua de los mapas?

Answer 1

Thom del citado artículo en el enlace para 1. ciertamente no contiene el "resultado" que usted cita, lo cual es falso. La aceptación de la respuesta que mencionar es al menos ambiguamente formulado.

De hecho, Don Stanley, quien le dio una respuesta a la MO pregunta vinculada a su 2. es perfectamente correcto: la homología de la clase $n[M]\in H_n(M,\mathbb Z)$ no es, ciertamente, representado por un cerrado submanifold de $M$ tan pronto como $n\geq 2$.
La razón es que el $H_n(M,\mathbb Z)$ es canónicamente isomorfo a $\mathbb Z$ una orientación ha sido corregido y por lo tanto no tiene torsión: no podemos tener a $n[M]=[M]$, y, obviamente, la única cerrado colector de $M$ que puede representar una homología de clase en $H_n(M,\mathbb Z)$$M$, lo que representa sólo el $1\cdot [M]$.