Deje $s$ ser una infinita cadena de dígitos decimales, por ejemplo: \begin{array}{cccccccccc} s = 3 & 1 & 4 & 1 & 5 & 9 & 2 & 6 & 5 & 3 & \cdots \end{array} Considere la posibilidad de un marcador, con la cabeza, señalando el primer dígito, $3$ en el ejemplo anterior. Interpretar el dígito bajo la cabeza como una instrucción para mover el cabezal $3$ dígitos a la derecha, es decir, a la $4$th dígitos. Ahora la cabeza está apuntando a $1$. Interpretar esto como una instrucción para mover $1$ lugar a la izquierda. Continúe de esta manera, saltando a través de la cadena, alternativamente, se mueve a la derecha y a la izquierda. Piense en la cabeza como algo parecido a la cabeza de una máquina de Turing, y $s$ como la cinta de instrucciones.
Hay tres posibles comportamientos. (1) La cabeza se mueve fuera del extremo izquierdo de $s$:
\begin{array}{cccccccccc} 3 & 1 & 4 & 1 & 5 & 9 & 2 & 6 & 5 & 3 \\ \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 3 & 1 & 4 & 1 & 5 & 9 & 2 & 6 & 5 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 3 & 1 & 4 & 1 & 5 & 9 & 2 & 6 & 5 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 3 & 1 & 4 & 1 & 5 & 9 & 2 & 6 & 5 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 3 & 1 & 4 & 1 & 5 & 9 & 2 & 6 & 5 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 3 & 1 & 4 & 1 & 5 & 9 & 2 & 6 & 5 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} \\ 3 & 1 & 4 & 1 & 5 & 9 & 2 & 6 & 5 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 3 & 1 & 4 & 1 & 5 & 9 & 2 & 6 & 5 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} \\ 3 & 1 & 4 & 1 & 5 & 9 & 2 & 6 & 5 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 3 & 1 & 4 & 1 & 5 & 9 & 2 & 6 & 5 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array}
(2) La cabeza entra en un ciclo, por ejemplo, cuando la cabeza golpea ${}^{\wedge}$:
\begin{array}{cccccccccccccc} 6 & 4 & 5 & 7 & 5 & 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 6 & 4 & 5 & 9 \\ \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 6 & 4 & 5 & 7 & 5 & 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 6 & 4 & 5 & 9 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 6 & 4 & 5 & 7 & 5 & 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 6 & 4 & 5 & 9 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 6 & 4 & 5 & 7 & 5 & 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 6 & 4 & 5 & 9 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 6 & 4 & 5 & 7 & 5 & 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 6 & 4 & 5 & 9 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 6 & 4 & 5 & 7 & 5 & 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 6 & 4 & 5 & 9 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \end{array}
(3) La cabeza se desplaza hacia la derecha para infnity:
\begin{array}{ccccccccccccc} 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 \\ \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 \\ \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{ %#%#%} & \text{} \\ \end{array}
Esta última cadena podría ser visto como la expansión decimal de ${}^{\wedge}$.
Q1. ¿Qué es un ejemplo de un número irracional ${}^{\wedge}$ cuya cadena de ${}^{\wedge}$ causas de la cabeza para saltar hacia la derecha hasta el infinito?
Q1.5. (Añadido). Hay una explícita irracionales algebraicas número con el hop-a-${}^{\wedge}$ propiedad?
Estoy pensando en algo como ${}^{\wedge}$, el 2º ejemplo anterior (ciclos).
Q2. De manera más general, que las cadenas de provocar la cabeza para saltar hacia la derecha hasta el infinito?
Actualización (resumen de respuestas, 13Apr2019). Q1. Hay irrationals con el hop-a-${}^{\wedge}$propiedad (@EthanBolker, @TheSimpliFire), pero explícita de la construcción requiere el uso de, por ejemplo, la Thue-Morse secuencia (@Wojowu). Q1.5. @EthanBolker sugiere que esto puede ser difícil, y @Wojowu sugiere que puede ser falsa (b/c: nueve ceros consecutivos): tal vez no algebraica irracional tiene el hop-a-${}^{\wedge}$de la propiedad. Q2. Un parcial de algoritmos de caracterización por @TheSimpliFire.
