Convergencia de$\sum_{n=1}^\infty\frac{\cot \varphi\pi n}{n^s}$

Question

Pregunta: $s\in\mathbb C$, Es $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\cot \varphi\pi n}{n^s}$$ absolutely convergent, conditionally convergent or divergent, where $\varphi=\frac{1+\sqrt5}2$?

TL;DR, mi progreso
Es absolutamente convergente si $\Re s>2$ y es divergente si $\Re s\le 1$. No sé cómo hacer cuando $\Re s\in(1,2]$.

La información detallada del progreso
De Roth teorema podemos deducir que $\mu\left(\varphi\right)=2$, donde $\mu$ denota la irracionalidad de la medida. Para un entero $n\ge1$, elegir un número entero $p$ tal que $|\varphi n-p|<\frac12$. A continuación, recordar la definición de la irracionalidad de la medida, $$\begin{aligned} \left|\frac{\cot \varphi\pi n}{n^s}\right|&<\left|\frac{\csc(\varphi\pi n-p\pi)}{n^s}\right|\\&<\frac2\pi\frac1{|\varphi \pi n-p\pi|n^{\Re s}}\\&=2n^{-1-\Re s}\left|\varphi-\frac pn\right|^{-1}\\&<\frac C{n^{\Re s-1}}\end{aligned}$$ para algunas constantes $C$. Por lo tanto, el original de la serie converge cuando $\Re s>2$.
Si $\Re s\le 1$, sumando no tienden a $0$. (Incluso podemos encontrar la limsup y la liminf de los sumando al $s=1$.) Por lo tanto la suma diverge.

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EDIT.
Numérico experimento

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EDICIÓN 2.
Cálculo numérico sugiere $\sum_{n\le x}|\cot\varphi\pi n|=\Theta(x\log x)$. Si podemos demostrar esta conjetura, podemos obtener la convergencia absoluta de la serie con la condición de $\Re s>1$ mediante el uso de Abel transformación.

Answer 1

Esta es una respuesta directamente utilizando el resultado demostrado por i707107 en esta respuesta.
Como se muestra por él o ella, $$\sum_{k=1}^n|\cot\varphi\pi k|\sim\frac2\pi n\ln n.$$ Si $\Re s>1$, sumando por partes (Abel transformación) $$\left|\sum_{k=1}^n\frac{\cuna\varphi\pi k}{k^s}\right|\le\sum_{k=1}^n\frac{|\cuna\varphi\pi k|}{k^{\Re s}}\\ \sim \sum_{k=1}^n\frac{Ck\ln k}{k^{\Re s+1}}\C\sum_{k=1}^\infty\frac{\ln k}{k^{\Re s}}$$ converges by the limit version of comparison test with $$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{(\Re s-1)/2+1}}.$$ Entonces, la combinación con la prueba de la convergencia de la serie, mientras que $\Re s\le 1$, obtenemos el resultado:

El original de la serie es absolutamente convergente cuando $\Re s>1$ y es divergente cuando $\Re s\le 1$.