¿Por qué funciona esta manera iterativa de resolver una ecuación?

Question

Yo era la solución de algún problema de física de semiconductores y en orden a conseguir la temperatura tengo este desagradable ecuación:

$$ T = \dfrac{7020}{\dfrac{3}{2}\ln(T)+12}.$$

Parece que puedo resolver este tipo de ecuación simplemente adivinando una solución para $T$ y, a continuación, sustituir esa respuesta de nuevo en la ecuación y, a continuación, de nuevo sustituyendo la nueva respuesta en la ecuación y así sucesivamente hasta que estoy satisfecho por la precisión del resultado. De alguna manera este método funciona.

Concretamente para mi ejemplo, mi primera idea fue $T=1$ y tengo esta secuencia de números de $(585.0, 325.6419704169386, 339.4797907885183, 338.4580701961562, 338.53186591337385,338.52652733834424, ...)$ y realmente parecen resolver la ecuación mejor y mejor.

Preguntas.

1) ¿Qué es una forma intuitiva de ver por qué este método funciona?

2) ¿Cómo puedo demostrar rigurosamente que este método converge a una solución de la ecuación?

3) Una generalización obvia para que el método podría funcionar parece ser: $$ x = \dfrac{a}{b\ln(x)+c}. $$ For which $a,b,c$ le este método de trabajo? Es esta ecuación es un caso especial de algunos naturales de la generalización de esta ecuación? ¿Cuáles son algunas similar ecuaciones que puedo resolver por el método descrito?

4) Cuando la secuencia de números en el proceso de iteración converge en un número finito de pasos para una solución exacta de la ecuación? ¿Que caso de existir? Es una solución para: $$ x = \dfrac{a}{b\ln(x)+c} $$ irracional para cada $a,b,c$? Es trascendental? Si no, para que $a,b,c$ que será el caso?

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Este método funciona porque estás viendo una dinámica discreta de la forma

PS

donde $$x_{n+1} = f(x_n)$ es una contracción. La prueba rigurosa es el teorema de punto fijo de Banach.

Answer 2

En general, un punto fijo $p$ de una función de $f(x)$ es un atractor para la iteración $x_{n+1} = f(x_n)$ si $|f'(p)| < 1$. Luego, si el valor inicial es lo suficientemente cerca del punto fijo, las iteraciones eventualmente convergen a la misma. Si $|f'(p)| > 1$, el punto fijo es un repelente, y la única manera de converger hacia el punto fijo es empezar exactamente allí (o pasar a la tierra después de un número finito de número de iteraciones).

Usted tiene tres parámetros de $a,b,c$, pero en realidad hay sólo dos, ya que puede multiplicar el numerador y el denominador por la misma constante. Así que supongamos $b=1$. Como Claude señaló, el punto fijo es $$ p = \frac{a}{W(a e^c)}$$ y este es el único punto fijo si $a,c>0$ (esto es fácil de ver debido a que $f(x)$ es la disminución de donde es positiva). La curva de $f'(p) = -1$ en la $a,c$ plano se parece a esto:

Por encima de la curva, el punto fijo es un atractor. En particular, que es siempre cierto para $a > e$. Sin embargo, $a=c=1$ está justo en la curva, y no está claro si el punto fijo sería un atractor en ese caso (resulta que no lo es, tomando el mayor de los derivados en cuenta). Si $(a,c)$ está por debajo de la curva, el punto fijo es un repelente.

Answer 3

La ecuación de $$T=\frac{a}{b \log (T)+c}$$ tiene solución explícita(s) en términos de la función de Lambert.

El resultado está dado por $$T=\frac{a}{b\, W\left(\frac{a }{b}e^{\frac{c}{b}}\right)}$$

En los enlaces de la página, podrás ver los diferentes pasos.

Aplica a tu caso, esto va a dar immeditely $$T=\frac{4680}{W\left(4680 e^8\right)}=338.526887451390053458527935852$$ Si no se accede a esta función, para grandes valores de la argumentación, el uso de la expansión dada en la página enlazada $$W(x)=L_1-L_2+\frac{L_2}{L_1}+\frac{(L_2-2) L_2}{2 L_1^2}+\frac{(2 L_2^2-9L_2+6) L_2}{6 L_1^3}+ ...$$ with $L_1=\log (x)$ and $L_2=\log (L_1)$

Answer 4

Esto no es una solución, pero tal vez te sea útil.

Suponer que la solución es $t^* = f(t^*) \approx 338.53$. Nuestra secuencia de itera es $t$, $f(t)$, $f(f(t))$, $\ldots$, para analizar el error de la secuencia (la distancia a la solución óptima) usando la serie de Taylor para averiguar cuando la distancia comienza a disminuir:

\begin{align} \left\lVert f(t) - t^*\right\rVert &< \left\lVert t - t^*\right\rVert \\ \left\lVert f(t^*) + f'(t^*)(t - t^*) + f''(t^*)\frac{(t - t^*)^2}{2} + \ldots - t^* \right\rVert &< \left\lVert t - t^*\right\rVert \\ \left\lVert (f(t^*) - t^*) + f'(t^*)(t - t^*) + f''(t^*)\frac{(t - t^*)^2}{2} + \ldots \right\rVert &< \left\lVert t - t^*\right\rVert \\ \left\lVert \frac{f'(t^*)(t - t^*) + f''(t^*)\frac{(t - t^*)^2}{2} + \ldots}{t - t^*} \right\rVert &< 1 \\ \implies \left\lVert f'(t^*) + f''(t^*)\frac{(t - t^*)}{2} + \ldots \right\rVert &< 1 \end{align}

Tener la convergencia a la solución que debe tener esta desigualdad se mantenga (aunque lo contrario no es cierto, hasta mostrar más regularidad en el problema), así que podrías probar a ver si es este el caso. Por desgracia yo no ver de inmediato una buena manera de resolverlo. Usted podría tratar de algo como el triángulo de la desigualdad obligado el lado izquierdo para obtener una aproximación, pero podría no ser útil.

Answer 5

Explicación simplificada:

Por el desarrollo de Taylor de primer orden alrededor de la raíz $T_0$, tenemos

$$f(T)\approx f(T_0)+f'(T_0)(T-T_0)=T_0+f'(T_0)(T-T_0).$$

Entonces

$$f(f(T))\approx T_0+(f'(T_0))^2(T-T_0)$$ $$f(f(f(T)))\approx T_0+(f'(T_0))^3(T-T_0)$$ $$\cdots$$

Para que ustedes entiendan que si $|f'(T_0)|<1$, el segundo término va disminuyendo y las iteraciones tienden a $T_0$ con el error de la disminución en una progresión geométrica.

---

Addendum:

El siguiente punto fijo de iteraciones puede ser utilizado así:

$$T\leftarrow T-\frac{f(T)}{f'(T)}.$$

Este es el famoso método de Newton. El resultado es mucho más favorable geométrica de la relación y de la convergencia más rápida.