¿Qué tienen de especial los números cuadrados aquí?

Question

No estoy escolarizado en matemáticas. Tengo 50 años y sólo tengo un nivel de 8º grado. Pero me gustan las matemáticas y escuché una pregunta en el programa "Growing Pains of a Teenage Genius" que me interesó. Así que, por favor, perdónenme. No hablo "matemáticas".

La pregunta ya se publicó aquí, pero creo que no se dio la respuesta correcta, y como soy nuevo, no he ganado los puntos para poder comentar ese post. Así que he iniciado mi propio post.

La pregunta es: si tienes 1.000 céntimos alineados, todos cara arriba, y le das la vuelta a cada segundo céntimo, luego a cada tercer céntimo, luego a cada cuarto céntimo, etc. hasta que le das la vuelta al milésimo y último céntimo, ¿cuáles estarán cara arriba?

He descubierto que la respuesta es que el números cuadrados será de cabeza. Sólo los números cuadrados serán volteados un número par de veces para que queden en la posición en la que empezaron. Pero no sé por qué es así.

¿Qué tienen los números cuadrados que son los únicos que se voltean un número par de veces a través del proceso de voltear cada segundo, tercer, cuarto,...etc, centavo?

Pensé que debía tener algo que ver con la factorización, ya que los números primos sólo se voltean una vez, pero el aumento de la distancia entre cada sucesión de volteos es un poco complicado de visualizar, y no sé cómo trabajar eso con la factorización de números cuadrados.

¿Hay algo especial sobre la factorización de números cuadrados que sea aplicable aquí?

¿Cómo se visualiza este problema matemáticamente?

Answer 1

Cada céntimo será volteado un número de veces igual al número de divisores que tenga ( incluyendo o no incluyendo $1$ en función del enunciado específico del problema ).

Suponiendo que $d$ es un divisor de $n$ es decir, que hay algún $k$ tal que $n = d\times k$ entonces $k$ también es un divisor. En el caso de que $k$ es diferente a $d$ entonces se contará por separado que $d$ al contar el número total de divisores. De este modo, cada uno de los divisores $d$ de $n$ que deseamos contar tendrán su correspondiente diferentes divisor $k=\frac{n}{d}$ .

Todo excepto la circunstancia de que $n$ resulta ser un número cuadrado $n=r^2$ en cuyo caso tiene $r$ es un divisor y el correspondiente divisor pareado $\frac{n}{r}$ es de nuevo igual a $r$ por lo que no es distinto y no es necesario contarlo por segunda vez.

Veamos $12$ para un ejemplo.

$12$ tiene los divisores $\color{red}{1},\color{blue}{2},\color{purple}{3},\color{purple}{4},\color{blue}{6},\color{red}{12}$ . Observa cómo los números con colores iguales se emparejan y se multiplican para dar $12$ .

Ahora, veamos como ejemplo un número cuadrado como $16$ .

$16$ tiene los divisores $\color{red}{1},\color{blue}{2},\color{purple}{4},\color{blue}{8},\color{red}{16}$ . Obsérvese que aquí también tenemos los números con color coincidente multiplicados para obtener $16$ . Sin embargo, en el centro desde $16$ es cuadrado sólo tienes un número de ese color, no dos, de nuevo porque el divisor correspondiente asociado a él resulta ser el mismo número . Este patrón continúa para todos los números. Cada número cuadrado tiene un número impar de divisores y cada número no cuadrado tiene un número par de divisores y es por esta razón que los únicos centavos que quedan volteados hacia arriba serán los que están en las posiciones de los números cuadrados.