Tengo problemas con una pregunta de cálculo multivariable. $$ f(x,y) = \begin{cases} \large\frac{2xy^2}{x^2 + y^4}, & \text{$(x,y)\neq 0$} \\[2ex] 0, & \text{$(x,y) = 0$} \end{cases}$$
Necesito demostrar que ambos $\large\frac{f}{x}$ y $\large\frac{f}{y}$ existen en todas partes.
Puedo encontrar fácilmente ambas derivadas parciales, pero no estoy muy seguro de lo que quiere decir la pregunta cuando pide que se demuestre que "existen en todas partes".
Se agradecería cualquier ayuda, gracias.
El problema potencial está en el origen. Pero hay que tener en cuenta que
$$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{2h(0^2)}{h^2+0^4}-0}{h}=0$$
y
$$f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{2(0)(h^2)}{0^2+h^4}-0}{h}=0$$
Por lo tanto, $f_x(0,0)=f_y(0,0)$ . Para $x^2+y^2>0$ podemos observar simplemente que $f(x,y)$ es la composición de funciones diferenciables con
$$\begin{align} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=\frac{2y^2(y^4-x^2)}{(x^2+y^4)^2}\\\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}&=\frac{4xy(x^2-y^4)}{(x^2+y^4)^2} \end{align}$$
Por lo tanto, vemos que
$$\begin{align} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\begin{cases}\frac{2y^2(y^4-x^2)}{(x^2+y^4)^2}&,x^2+y^2>0\\\\ 0&,x=y=0 \end{cases} \end{align}$$
$$\begin{align} \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\begin{cases}\frac{4xy(x^2-y^4)}{(x^2+y^4)^2}&,x^2+y^2>0\\\\ 0&,x=y=0 \end{cases} \end{align}$$
NOTA: Mientras que las primeras derivadas parciales, $f_x$ y $f_y$ existen en todas partes, ninguna es continua en el origen.
Entonces, ¿significa esto que $f(x,y)$ será diferenciable cuando $(x,y) \neq 0$ y no para $(x,y) = 0$ ?
@NathanLowe, TEOREMA: si todas las derivadas parciales existen en un punto y son continuas, entonces la función es diferenciable allí. Pero la mera existencia de las derivadas allí no es suficiente para garantizar la diferenciabilidad. Por otro lado, el hecho de que algunas de las derivadas parciales allí sean discontinuas, no garantiza necesariamente que la función no sea diferenciable allí. Así que hay que trabajar un poco más para saber si es o no diferenciable en $(x:=0,y:=0)$ .
Es decir, la respuesta a su pregunta es que no está inmediatamente claro si $f$ es diferenciable es en $(x:=0,y:=0)$ o no sólo por la información que tienes.
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En el futuro, por favor, no aceptes las respuestas demasiado rápido. Esperar un par de horas antes de elegir una respuesta aceptada es una buena práctica, porque permite que diferentes personas den su propia y única perspectiva, y entonces usted puede elegir qué perspectiva le resultó más útil. Buena suerte con su tarea.