¿Es$B = \{x:x \notin B\}$ una paradoja válida en la teoría de conjuntos ingenuos?

Question

La versión de el Cantor de la noción de conjuntos que me he encontrado con algo como esto:

"...colección bien definida, distinguible de los objetos de nuestra intuición o de nuestro pensamiento, para ser concebida como un todo. Los objetos son llamados los miembros del conjunto..."

Con la paradoja de Russell $B = \{x:x \notin x\}$, entiendo que el error es asumir que la colección de $B$ es un conjunto (es decir, si por conjuntos, nos referimos a una colección que tiene la membresía de la relación con sus elementos). La paradoja muestra que no todas las colecciones son conjuntos.

Hasta ahora no he visto ninguna paradoja formulada así: $B = \{x:x \notin B\}$? Parece ligeramente diferente de la paradoja de Russell en que la cuestión no es tanto acerca de si $B$ es una colección que también es un conjunto, pero si $B$ es una colección de todos. Es esta formulación permite en el Cantor de la noción de conjuntos, en el que debe satisfacer el criterio de ser bien definidos?

Gracias!

Answer 1

El problema fundamental aquí es que incluso en la ingenua teoría de conjuntos usted no tiene derecho a suponer que $$ B = \{ x\mid x\notin B\} $$ obras como la definición de $B$. Desde la carta de $B$ aparece en la expresión que supuestamente define su significado, lo que tenemos no es una definición, sino simplemente una ecuación que desee $B$ a ser una solución de. Y no hay nada de paradójico el hecho de que esta ecuación no tiene ninguna solución, más de lo que es paradójico que $$ x=x+1 $$ no logra definir un número $x$.

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Incluso si nos fijamos en la no-contradictoria caso, $$ C = \{ x \mid x \in C \} $$ que también no define nada, porque simplemente se dice que $C$ es igual a sí mismo, que no solo fuera de cualquier conjunto particular entre todos los otros conjuntos que también iguales a sí mismos. De nuevo, esto no es un misterio, pero a la misma como el hecho de que $$ y = 1\cdot y $$ no logra definir un número $y$.

Answer 2

$B = \{x:x \notin B\}$ es una ecuación en lugar de una definición, y una ecuación sin soluciones.