Demostrar que $x = 2$ es la única solución a $3^x + 4^x = 5^x$ donde $x \in \mathbb{R}$

Question

Ayer, mi tío me preguntó:

Demostrar que $x = 2$ es la única solución a $3^x + 4^x = 5^x$ donde $x \in \mathbb{R}$.

¿Cómo podemos hacer esto? Tenga en cuenta que esto no es una ecuación diophantine desde $x \in \mathbb{R}$ si usted está pensando en Último Teorema de Fermat.

Answer 1

$$f(x) = \left(\dfrac{3}{5}\right)^x + \left(\dfrac{4}{5}\right)^x -1$$

$$f^ \prime(x) < 0\;\forall x \in \mathbb R\tag{1}$$

$f(2) =0$. Si hay dos ceros de $f(x)$), luego por el teorema de Rolle $f^\prime(x)$ tendrá un cero, lo que es una contradicción a $(1)$.

Answer 2

Para todos los $x_j>x_i$ y $0<a<1$, $a^{x_i}>a^{x_j}$ .

Por lo tanto \begin{align} \left(\frac{3}{5}\right)^{x} + \left(\frac{4}{5}\right)^{x} - 1 < \left(\frac{3}{5}\right)^{2} + \left(\frac{4}{5}\right)^{2} - 1 = 0 \end{align}

para todos los $x>2$. Por lo tanto, no hay ninguna solución para $x>2$.

Del mismo modo \begin{align} \left(\frac{3}{5}\right)^{x} + \left(\frac{4}{5}\right)^{x} - 1 > \left(\frac{3}{5}\right)^{2} + \left(\frac{4}{5}\right)^{2} - 1 =0 \end{align}

para todos los $x<2$.

Answer 3

Uno se busca las raíces de la función $f:x\mapsto a^x+1-b^x$$a=\frac34$$b=\frac54$.

• Desde $a\lt1$, la función de $x\mapsto a^x$ está disminuyendo.
• Desde $b\gt1$, la función de $x\mapsto b^x$ es cada vez mayor.
• Por lo tanto la función de $f$ está disminuyendo.
• Y $f(\pm\infty)=\mp\infty$.

Como tal, la función de $f$ tiene exactamente una raíz. Desde $f(0)=1$ esta raíz es positivo.