¿Se considera constructivo el axioma antifundamental?

Question

En el área de la informática teórica que me interesa, las matemáticas constructivas tienen un interés práctico porque dan algoritmos que pueden ser implementados en una computadora. Sin embargo, la teoría de conjuntos sin fundamento también es de interés práctico, ya que muchos de los fenómenos que queremos modelar son de naturaleza circular o sin fundamento.

El axioma antifundamental se puede afirmar de varias maneras, entre ellas las siguientes.

Cada sistema de ecuaciones $ \varepsilon $ tiene una solución única.

Cada gráfico $G$ tiene una decoración única.

Este axioma, en todas las formulaciones que he encontrado, me parece decididamente no constructivo, ya que el axioma simplemente afirma que hay existe una solución o una decoración, pero no da ninguna manera de construirlas. Sin embargo, en la práctica, a menudo se puede encontrar una solución de este tipo (por ejemplo, utilizando el teorema del punto fijo de Tarski), por lo que mi pregunta es simplemente: ¿considera la comunidad matemática y filosófica más amplia que el axioma antifundamental es constructivo o no, o es quizás todavía una cuestión bastante abierta?

Answer 1

Creo que la respuesta debería ser no. No soy un investigador en este campo (ni siquiera en matemáticas), así que no puedo decir si mi opinión está de alguna manera alineada con alguna comunidad "matemática dominante", pero el artículo más general de Wikipedia sobre teoría de conjuntos sin fundamento (advertencia: a la que yo mismo he contribuido con algunas ediciones en el pasado) enumera algunas alternativas al axioma de Aczel y tiene algunos documentos de comparación interesantes.

Lo interesante de estas alternativas es que se puede producir un teorema de orden (inclusión), que dice básicamente que el universo de von Neumann está incluido en el de Aczel (y a su vez eso está incluido en el de Scott, etc.) Así que mi argumento es simplemente que tendrías que considerar el universo de von Neumann constructivo también por inclusión si consideras el de Aczel de esta manera. Y creo que eso no se hace comúnmente, aunque el de Godel universo constructible podría contar como tal, pero ese no es todo el universo de Von Neumann. En este último punto, encuentro insatisfactorio que el artículo de Wikipedia sobre constructivismo no menciona el universo constructible de Godel de ninguna manera, ni como ejemplo ni como "falso amigo", pero supongo que esa es una pregunta diferente.