¿Cómo probar que$B^\vee$ es una base para coroots?

Question

Deje $\Phi$ ser un sistema de raíz en un verdadero producto interior espacio de $E$. Definir $\alpha^\vee = \frac{2\alpha}{(\alpha, \alpha)}$. Entonces el conjunto $\Phi^\vee = \{\alpha^\vee: \alpha \in \Phi \}$ es también un sistema de raíz.

Deje $B$ ser una base para el sistema de la raíz $\Phi$, es decir. $B$ es una base para $E$ y cada una de las $\alpha \in \Phi$ puede ser escrito como $\alpha = \sum_{\beta \in B} {k_\beta} \beta$ tal que $k_\beta$ son números enteros del mismo signo.

Pregunta: ¿Cómo demostrar que $B^\vee = \{ \alpha^\vee: \alpha \in B\}$ es una base para el sistema de la raíz $\Phi^\vee$?

Es fácil ver que $B^\vee$ es una base para $E$. Para los demás bienes, aquí es lo que tengo hasta ahora. Deje $\alpha = \sum_{\beta \in B} {k_\beta} \beta$ ser una raíz. Entonces

$$\alpha^\vee = \sum_{\beta \in B} \frac{k_\beta (\beta, \beta)}{(\alpha, \alpha)} \beta^\vee$$

así que para probar la afirmación, es necesario demostrar que la $\frac{k_\beta (\beta, \beta)}{(\alpha, \alpha)}$ es un número entero. No veo la manera que sigue. En el caso de que $(\alpha, \beta) = 0$ la proporción $\frac{(\beta, \beta)}{(\alpha, \alpha)}$ podría ser cualquier cosa, así que estoy un poco confundido.

Answer 1

Este es un ejercicio de Humphreys, a saber, el Ejercicio 1 del Capítulo 10.

Solución
Deje $\Phi^\vee$ ser el doble de a$\Phi$$\Delta^\vee = \{\alpha^\vee : \alpha\in \Delta\}$. Por la propiedad del grupo de Weyl $W$ cada $\alpha\in \Phi$ puede ser escrito como $ \alpha = \sigma(\beta)$ para algunos $\beta\in \Delta$$\sigma\in W$. Entonces $$\alpha^\vee = \sigma(\beta)^\vee = \frac{2\sigma(\beta)}{(\sigma(\beta),\sigma(\beta))} = \frac{2}{(\beta,\beta)}\sigma(\beta) = \sigma(\beta^\vee)$$ Deje $\Delta = \{\alpha_1,\cdots, \alpha_l\}$, la reclamación de los $\sigma\in W$, $\sigma(\alpha_i^\vee)$ es una combinación lineal de $\alpha_i^\vee,\cdots, \alpha_l^\vee$ con coeficientes enteros. Tenga en cuenta que nosotros podemos escribir $\sigma = \sigma_{\alpha_{i_1}}\cdots \sigma_{\alpha_{i_l}}$, es suficiente para demostrar que $\sigma_{\alpha_j}(\alpha_i^\vee)$ es una combinación lineal de $\alpha_i^\vee,\cdots, \alpha_l^\vee$ con coeficientes enteros. $$\sigma_{\alpha_j}(\alpha_i^\vee) = \alpha_i^\vee - \langle \alpha_i^\vee, \alpha_j\rangle \alpha_j = \alpha_i^\vee - \frac{2(\alpha_i^\vee,\alpha_j)}{(\alpha_j,\alpha_j)\alpha_j}$$ $$ = \alpha_i^\vee - \frac{4(\alpha_i,\alpha_j)}{(\alpha_i,\alpha_i)(\alpha_j,\alpha_i)}\alpha_j = \alpha_i^\vee - \frac{2(\alpha_i,\alpha_j)}{(\alpha_i,\alpha_i)}\alpha_j^\vee = \alpha_i^\vee - \langle \alpha_j,\alpha_i\rangle \alpha_j^\vee$$ Estamos hecho desde $\langle \alpha_j,\alpha_i\rangle$ es un número entero. Por tanto, para $\alpha\in \Phi$ $$\alpha^\vee = \sum_{i = 1}^l k_i \alpha_i^\vee,\;\;k_i\in\mathbb{Z}$$ Ahora mostramos $k_i$ son todos no negativos o valor no positivo. Ya podemos escribir $\alpha = \sum_{i = 1}^l k_i' \alpha_i$ todos no negativos o valor no positivo de los coeficientes, a continuación, $$\alpha^\vee = \frac{2\alpha}{(\alpha,\alpha)} = \frac{2}{(\alpha,\alpha)}\sum_{i = 1}^lk_i'\alpha_i= \sum_{i = 1}^l \frac{(\alpha_i,\alpha_i)}{(\alpha,\alpha)}k_i'\alpha_i^\vee$$ Tenga en cuenta que $\{\alpha_i^\vee,\cdots,\alpha_l^\vee\}$ es linealmente independiente, de donde $$ k_i =\frac{(\alpha_i,\alpha_i)}{(\alpha,\alpha)} k_i'$$ y desde $\frac{(\alpha_i,\alpha_i)}{(\alpha,\alpha)}>0$ todos los $i = 1,\cdots, l$$\alpha\in\Phi$, llegamos a la conclusión de que $k_i$ $k_i'$ tienen el mismo signo.

Answer 2

Aquí es una solución diferente, que es quizás la que se insinúa en el libro de Humphreys. Vea los comentarios en la respuesta por mezhang. La notación y la terminología es utilizada por Humphreys en el Capítulo III de su libro.

Ahora $\Delta = \Delta(\gamma)$ por algún elemento regular $\gamma$ en el espacio Euclidiano $E$ donde el sistema radicular $\Phi$ reside. Desde $\alpha$ $\alpha^\vee$ determinar el mismo hyperplanes, $\gamma$ es regular también con respecto a las $\Phi^\vee$. Por lo tanto $\Delta^\vee(\gamma)$ constituye una base para $\Phi^\vee$. Aquí $\Delta^\vee(\gamma)$ es el conjunto de raíces de $\Phi^\vee$ que son indecomposable con respecto a $\gamma$.

Podemos demostrar que $\Delta^\vee \subseteq \Delta^\vee(\gamma)$, lo que le da la igualdad, puesto que ambos conjuntos son bases para $E$. Deje $\alpha^\vee \in \Delta^\vee$. Si $\alpha^\vee = \beta_1^\vee + \beta_2^\vee$$\beta_i \in (\Phi)^+(\gamma)$, $\alpha$ es una combinación lineal de dos raíces positivas. Pero esto no es posible ya $\Delta$ es una base. Por lo tanto $\alpha^\vee$ es indecomposable, es decir. $\alpha^\vee \in \Delta^\vee(\gamma)$.

Answer 3

Esto se trata en el Capítulo 11 (pág. 86) del curso Introducción a Lie Algebras .