Cómo probar$f (x)>\sqrt{\frac{x+1}{x}}$ para$f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x+1}}-1}$

Question

Vamos a$$f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x+1}}-1}. Cómo probar que por cada$x\in (0,\infty)$ tenemos:

PS

Answer 1

Solo tenemos que demostrar que $$f(x) = \sqrt{x}\left(e^\frac{1}{x}-1\right) $ $ está disminuyendo en$\mathbb{R}^+$, o que:$$ g(x) = f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{e^x-1}{\sqrt{x}} está aumentando, eso es trivial, ya que:$$ g(x) = \sqrt{x}\cdot\frac{e^x-1}{x}=\sqrt{x}\left(1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\ldots\right) es el producto de dos Funciones positivas en aumento en$\mathbb{R}^+$.