¿Cómo contar el número de elementos en$(\mathbb{Z}[i]/I^{2014})\otimes_{\mathbb{Z}[i]}(\mathbb{Z}[i]/J^{2014})$?

Question

Deje $I,J\unlhd \mathbb{Z}[i]$ ser el principal de los ideales generados por $7-i$$6i-7$, respectivamente. Encontrar el número de elementos en la $\mathbb{Z}[i]$-módulo de $A=(\mathbb{Z}[i]/I^{2014})\otimes_{\mathbb{Z}[i]}(\mathbb{Z}[i]/J^{2014})$.

Sé que $A\cong \mathbb{Z}[i]/(I^{2014}+J^{2014})$, pero no estoy seguro de dónde ir desde aquí. Creo que no hay nada especial sobre el número 2014 aquí el problema es de un pasado álgebra examen de la cuestión a partir de ese año), por lo que me inclino a pensar que hay algún truco que me falta, que podría ser aplicado para los números enteros distintos de 2014 así. Mi primer pensamiento fue, de alguna manera usar el teorema fundamental de los módulos a través de PID para escribir $A$ como una suma directa, que nos permiten contar los elementos, pero no acabo de conseguir que funcione. Cualquier sugerencias sería muy apreciada!

Answer 1

Sugerencia. para los principales ideales de la $(a), (b)$ en un UFD, tenemos $(a)+(b) = (\gcd(a,b))$.

Más ayuda: mediante el cálculo de la norma de una Gaussiana entero, uno puede adivinar lo que su descomposición en factores primos podría ser.

${}$

Además sugerencia: Dependiendo de cuánto la teoría algebraica de números que usted sabe, recordar o probar usando el herrero normal de forma que la cardinalidad de a $\mathbb Z[i]/(a)$ es igual a la norma $N(a)$.

Solución.

$N(7-i)=50$ , por lo que sus factores primos sólo puede tener la norma $2$, $5$ o $25$. Es decir, se $1+i$ $5$ o $1+i$ y dos primos divisores de $5$. No es difícil ver que $7-i \neq \pm i \cdot(1+i)\cdot5$, por lo que tiene que ser de la forma $\pm i \cdot (1+i) p_1^{a_1}p_2^{a_2}$ donde$p_1,p_2=2\pm i$$a_1+a_2=2$. Mediante la comprobación de todas las posibilidades, se encuentra en las $7-i = (1+i)(2-i)^2$. Del mismo modo, $6i-7=i(2-i)(1+4i)$. Por lo tanto $I+J = (2-i)$, y la cardinalidad que estamos buscando es $N(2-i)^{2014}=5^{2014}$.