demostrar que la desigualdad se mantiene para $n \ge 10$

Question

Quiero demostrar que para $n \ge 10$ se mantiene: $$(n+1)^{\sqrt{n+1}}<n^{\sqrt{n+2}}$$

Sé que tiene $(n+1)^{{n+1}}<n^{{n+2}}$ que se puede demostrar por inducción, pero aquí no sé cómo tratar los cuadrados

Answer 1

Obsérvese que la desigualdad deseada es equivalente a $$ (n+1)^{1/\sqrt{n+2}} < n^{1/\sqrt{n+1}}. $$ Si definimos $$ f(x) = x^{1/\sqrt{x+1}}, $$ entonces basta con demostrar que $f$ es decreciente para $x\ge10$ . Equivalentemente, basta con demostrar que $$ \log f(x) = \frac{\log x}{\sqrt{x+1}} $$ es decreciente para $x\ge10$ y este es un problema de cálculo bastante estándar (de hecho, está aumentando desde aproximadamente $x=9.19$ en adelante).

Answer 2

Dejemos que $\displaystyle f(x) = \frac{\log x}{\sqrt{x+1}}.$

Entonces

$$f'(x) = \frac{1}{x\sqrt{x+1}}- \frac{\log x}{2(x+1)\sqrt{x+1}}< 0 \iff \log x>2+2/x.$$

Desde $\log x$ no tiene límites y $2 + 2/x \to 2$ , $f(n)$ es decreciente eventualmente ( $n \geqslant 10$ es la primera instancia).

Esto implica que eventualmente

$$\sqrt{n+1}\log(n+1)< \sqrt{n+2} \log n \implies (n+1)^{\sqrt{n+1}}< n^{\sqrt{n+2}}.$$

Se puede comprobar que la desigualdad se mantiene para $n = 10$ . Por lo tanto, es válido para $n \geq 10$ .