Encontrando cuatro números

Question

Encuentra cuatro pesos de manera que, dados los cuatro pesos y una balanza de pesaje, puedas medir todos los pesos entre $1$ y $80$.

Encontré este aquí. ¿Alguna idea de cómo resolverlo?

Answer 1

Está bien, escribiré una respuesta ya que tengo un poco más que decir de lo que cabría en los comentarios. Sin embargo, no revelaré la respuesta; si deseas que se revele, por favor indícalo.

Por favor, revisa mis comentarios anteriores con respecto a la formulación del problema.

Así que tenemos dos problemas diferentes, uno donde "measure" significa "balance" y queremos ser capaces de equilibrar los pesos del 1 al 40, y uno donde "measure" significa "inferir", y queremos ser capaces de inferir los pesos del 1 al 81 (80 en la pregunta original, pero 81 tiene más sentido). Primero pensemos por qué no podemos hacer mejor que del 1 al 40 cuando "measure" significa "balance". Tenemos 81 combinaciones diferentes de pesos disponibles, ya que podemos elegir $+$, $-$ o $0$ para cada peso, correspondiente a colocarlo en una báscula, en la otra báscula o en ninguna. Existe una simetría en que invertir los signos de una combinación invierte el signo del peso que podemos equilibrar, lo que no nos da nada nuevo ya que solo significa que tenemos que colocar el peso a equilibrar en la otra báscula. Por lo tanto, en realidad no tenemos 81 valores diferentes, sino un valor cero y $2\times 40$ valores positivos/negativos emparejados, es decir, 40 valores útiles. Por eso no podemos hacer mejor que del 1 al 40 si "measure" significa "balance".

Ahora, si "measure" significa "inferir", no tenemos que ser capaces de equilibrar cada peso. De hecho, lo que necesitamos es ser capaces de equilibrar precisamente cada otro peso, ya que dos pesos consecutivos que no podemos equilibrar no se pueden distinguir. Y 81 es el mayor número tal que podemos equilibrar 40 números y no dejar ningún peso consecutivo desequilibrado, específicamente equilibrando todos los números pares del 2 al 80. Por eso no podemos hacer mejor que del 1 al 81 si "measure" significa "inferir".

Eso ya te dice mucho sobre cómo encontrar la respuesta, y en particular cómo mapear entre las respuestas para el problema "measure"="balance" del 1 al 40 y las respuestas para el problema "measure"="inferir" de 1 al 81.

Una cosa más sobre la búsqueda por fuerza bruta: No está claro a priori que podamos restringir la búsqueda a enteros (no hubo tal requisito en la pregunta), pero las consideraciones anteriores implican que podemos hacerlo, ya que si necesitamos alcanzar 40 enteros con 40 combinaciones disponibles, eso solo funciona si todos los pesos son enteros.

Answer 2

Intenta utilizar la base 3 para expresar los pesos en ese rango.