Adjoints y triángulos conmutativos.

Question

Estoy trabajando a través de una prueba de que la especificación de una izquierda adjunto para un functor $G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ es equivalente a especificar, para cada objeto de $A \in Ob( \mathcal{C})$, un objeto inicial de $(A \downarrow G)$. Aquí $(A \downarrow G)$ representa la categoría cuyos objetos son pares $(B,f)$ con $B \in Ob(\mathcal{D})$, $f: A \to GB$, y con morfismos $(B,f) \to (B',f')$ los morfismos $g:B \to B'$ para que el $(A,GB,GB')$ triángulo con morfismos $f,\,f',\,Gg$ viajes; esencialmente morfismos son lo que usted esperaría de ellos.

Ahora una dirección de la prueba inicia de la siguiente manera: Vamos a $F: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ ser una izquierda-adjoint para $G$. Vamos a mostrar a $(FA,\eta_A)$ es un objeto inicial de $(A\downarrow G)$ (donde, como siempre,$\eta_A:A \to FGA$). Dado un objeto de $(A \downarrow G)$, decir $(B,f)$, el triángulo

\begin{array}{cc} \,\,\,\,\,\,\,A \\ \\ \eta_A \downarrow & \,\,\,\,\,\,\,\searrow \,{f} \\ \\ GFA & \xrightarrow{Gh} & GB \end{array}

desplazamientos iff el triángulo

\begin{array}{cc} \,\,\,\,\,\,\,FA \\ \\ 1_{FA} \downarrow & \,\,\,\,\,\,\,\searrow \,{\bar{f}} \\ \\ \,\,\,\,\,\,FA & \xrightarrow{h} & B \end{array}

los desplazamientos. (Disculpas como siempre para mi horrible diagramas, traté de usar esta pregunta para averiguar cómo sacar uno pero no podía conseguir muchas de las respuestas a trabajar, si alguien está interesado lo suficiente como para arreglarlos por favor siéntase libre.)

Aquí, $\bar{f}$ representa el mapa correspondiente a $f$ bajo la bijection de la contigüidad. Sin embargo, no entiendo por qué estos dos triángulos cada uno conmutan si el otro no: ¿qué hemos hecho para llegar de un triángulo a otro, aplica la contigüidad? Si es así, entonces no veo por qué la contigüidad debe preservar la conmutatividad; es sólo un bijection entre los mapas, y seguro que es natural en los objetos que se asigna entre pero no veo por que en realidad implica compartido propiedades conmutativas entre ambos lados. Así que, tal vez eso no es lo que hemos hecho para llegar de un triángulo para el otro, y hay alguna otra razón por la que ambos comparten conmutatividad o no-conmutatividad, no sé. Estaría muy agradecido si alguien pudiera aclararme.

Answer 1

Tan lejos como puedo trabajar, para obtener desde el primer triángulo a la segunda, aplicar el functor $F$, que conserva conmutatividad porque es un functor, y, a continuación, utilizar la contigüidad de ordenar la $FGh\colon FGFA\to FGB$ que aparece en la parte inferior, como este:

$$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{lll} FA&&\\ \da{F_{\eta_A}}&\searrow^{Ff}&\\ FGFA&\ra{FGh}&FGB\\ \da{\varepsilon_{FA}}&&\da{\varepsilon_B}\\ FA&\ra{h}&B \end{array} $$ (Lo siento, el diagrama no es lo ideal, pero esperamos que sea legible). A continuación, este diagrama de desplazamientos, el triángulo en la parte superior debido a $F$ es un functor, y la plaza en la parte inferior debido a que $\varepsilon$ es una transformación natural. Luego de señalar que $1_{FA}=\varepsilon_{FA}\circ F\eta_A$$\overline{f}=\varepsilon_B\circ Ff$, podemos utilizar la conmutatividad del diagrama para obtener:

$$h\circ 1_{FA}=h\circ\varepsilon_{FA}\circ F\eta_A=\varepsilon_B\circ FGh\circ F\eta_A=\varepsilon_B\circ Ff=\overline{f}$$

que es la declaración de que el segundo triángulo desplazamientos.

Para la otra dirección, se aplican $G$ para el segundo triángulo para obtener:

$$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{lll} GFA&&\\ \da{1_{GFA}}&\searrow^{G\overline{f}}&\\ GFA&\ra{Gh}&FGB \end{array} $$

que los desplazamientos debido a $G$ es un functor, por lo $G\overline{f}=Gh$. Tenga en cuenta también que, debido a $\eta$ es una transformación natural, $GFf\circ\eta_A=\eta_{GB}\circ f$. Por lo tanto tenemos:

$$ GH\circ\eta_A=G\overline{f}\circ\eta_A=G\varepsilon_B\circ GFf\circ\eta_A=G\varepsilon_B\circ\eta_{GB}\circ F=f $$

que es la declaración de que el primer triángulo desplazamientos.

Answer 2

Esto es realmente sólo connaturalidad. Considere el siguiente diagrama:

$$\begin{array}{ccc} D(FA,FA) & \xrightarrow{\varphi_{A,FA}} & C(A,GFA)\\ \downarrow_{D(FA,h)} & & \downarrow_{C(A,Gh)}\\ D(FA,B) & \xrightarrow{\varphi_{A,B}} & D(A,GB)\\ \end{array}$$ donde el $\varphi$ flechas son componentes de la contigüidad. Comenzando en la esquina superior izquierda, chase $1_{FA}$ a lo largo de este diagrama. Usted obtener ese $$\varphi_{A,B}(h)=Gh\circ\eta_A$$ lo que implica su conmutatividad relación, ya que $\bar{f}=\varphi^{-1}_{A,B}(f)$.

Este tipo de cálculo es muy común cuando se trata con adjoints. Cuando lo he estudiado, me escribió las cuatro (o dos si usted está siendo económico) diagramas que expresan la connaturalidad de la contigüidad mapa y las traduce en ecuaciones. Aquellos que resultó ser algo más útil para los cálculos, especialmente con las unidades y counits.