Estructura algebraica de la esfera de riemann.

Question

¿Esfera de Riemann tiene alguna estructura algebraica (Campo, el Anillo, el Álgebra)?

Parece que 'como un conjunto', de la construcción de la Esfera de Riemann es similar a la construcción del anillo de polinomios sobre un campo. Al menos el primer paso es el mismo.

Consideremos el conjunto a $\mathbb{C}$. Insertar un símbolo de $\infty$ en ese conjunto. Que es $\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$

(A continuación, definir la topología adecuadamente)

En el otro lado.

Considere la posibilidad de cualquier campo de $F$. Insertar un símbolo de $x$ en ese conjunto.

(A continuación, inserte un montón de cosas más (todos los 'poderes' de x, y formal sumas de F-coeficiente de 'poderes' de x etc.)

Claramente, en la Plaza de Riemann, el símbolo extra inserta en el conjunto, no se producen linealmente independientes, elementos $\infty, \infty^2 ...$

Pero estoy teniendo un tiempo difícil la comprensión de cómo el 'álgebra' del conjunto $\mathbb{C}$ es interrumpido por este nuevo símbolo.

Answer 1

No, la esfera de Riemann en su totalidad no es un anillo, el álgebra o el campo en cualquier interpretación sé.

Creo que es más natural algebraica de interpretación de la esfera de Riemann tiene es su identificación con el complejo proyectiva línea, por lo que es un conjunto sobre el que Möbius grupo actúa sobre. Así, no es un campo, el anillo o el álgebra, pero el espacio subyacente de un grupo de acción.

Yo creo que probablemente (pero no sé, personalmente) que se podría decir algo más acerca de ser un topológico grupo de acción sobre el complejo proyectiva de la línea.