Expectativa de suma de variable aleatoria independiente

Question

Supongamos, por $m\neq 1$, $X_1, X_2\ldots$ ser independiente de las variables aleatorias con $E(X_n) = m^n, n \ge 1$, vamos a $N \sim \text{Poisson}(\lambda)$ ser independiente de $X_1, X_2\ldots$ y el conjunto de $$Z = X_1 + X_2 + \ldots + X_N$$ Determinar el $E(Z)$.

Es más difícil de lo que el yo.yo.d.condición.

Por favor, muéstrame cómo puedo solucionar.

Siento que no conozco la regla de aquí, voy a añadir mi trabajo de entonces.

Hay un teorema que E[Sn] = E[N]E[x], pero no funciona aquí, debido a que Xi no son yo.yo.d. Yo trate de hacer algunas modificaciones basadas en el teorema, pero parece difícil para mí trabajar.

Answer 1

Tiene que: $$\begin{align*}E[Z]&=E[X_1+\ldots+X_N]=\sum_{n=1}^{\infty}E[X_1+\ldots+X_N |N=n]P(N=n)=\\&=\sum_{n=1}^{\infty}\left(m^1+\ldots+m^n\right)e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^n}{n!}=m\cdot e^{-\lambda}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lambda^n}{n!}\sum_{k=0}^{n-1}m^k\end{align*}$$ where from the geometric series $$\sum_{k=0}^{n-1}m^k=\frac{1-m^n}{1-m}$$ So $$ $$\begin{align*}E[Z]&=m\cdot e^{-\lambda}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lambda^n}{n!}\sum_{k=0}^{n-1}m^k=me^{-\lambda}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lambda^n}{n!}\frac{1-m^n}{1-m}=\frac{me^{-\lambda}}{1-m}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lambda^n}{n!}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(m\lambda)^n}{n!}\right)=\\&=\frac{me^{-\lambda}}{1-m}\cdot (e^{\lambda}-e^{m\lambda})=\frac{m}{1-m}\cdot(1-e^{(m-1)\lambda})=\frac{m}{m-1}\left(e^{\lambda(m-1)}-1\right)\end{align*}$$