Resuelva $2^{2x} + 9e^{-2x} = 6$ para x usando la sustitución.

Question

Esta es la ecuación que tengo:

$$2^{2x} + 9e^{-2x} = 6$$

Quiero resolver para x usando el método de sustitución.

Lo he convertido en

$$4^x+ \frac {9}{e^{2x}} - 6 = 0$$

Pero no sé qué sustituir y cómo resolverlo.

Answer 1

Pistas:

$$2^{2x}=e^{2x \log2 } \implies 2^{2x} + 9e^{-2x} = 6 \implies e^{2x(1+ \log2 )}-6e^{2x}+9=0 \implies\ldots$$

Editar: Tal vez, como se sugiere en los comentarios, hay un error de imprenta en la OP, que me indujo a cometer un error de imprenta yo mismo y un error: si la ecuación fuera

$$e^{2x}+9e^{-2x}=6 \implies\left (e^{2x} \right )^2-6e^{2x}+9=0$$

y todo está muy bien con el cuadrante $\,t^2-6t+9=(t-3)^2\,$ ... Tal como está. ahora parece una media, malvada ecuación exponencial de la forma $\,t^{1+ \log 2}-6t+9=0\,$ ...

Answer 2

Esto basado en la ecuación

$$a^b = e^{b \log a}.$$

Aplicar esto a la única exponencial no con base $e$ en tu problema:

$$\begin {aligned} 2^{2x} + 9e^{-2x} &= 6 \\ e^{2x \log 2} + 9e^{-2x} &= 6 \end {aligned}$$ Ahora, la única sustitución de $x$ Veo que es $u = e^{2x}.$

$$\begin {aligned} u^{ \log 2} + \frac {9}{u} &= 6 \\ u^{1 + \log 2} + 9 &=6u \\ u^{1 + \log 2} -6u + 9 &=0 \end {aligned}$$

No veo ninguna manera de resolver para $u$ y así para $x$ aquí. Algo que involucra a los Lambert $W$ -funcionar, tal vez.