En $f_n$ convergen uniformemente a $f$ ?

Question

$f_n :[0, 1]\rightarrow\mathbb{R} \qquad x \mapsto x^n - x^{n+1}$

La secuencia converge puntualmente a la función cero. Converge uniformemente si

$$\sup_{x \in [0, 1]} \; \big| \, f_{n}(x) - f(x) \, \big|$$

tiende a cero. Pero no estoy seguro de si lo hace o cómo demostrarlo.

Answer 1

El máximo de $x^n-x^{n+1}$ para $x\in [0,1]$ se produce cuando $x=\frac{n}{n+1}$ tal que

$$x^n-x^{n+1}=\frac{1}{n+1}\left(\frac1{1+\frac1n}\right)^n\le \frac1{n+1}\to 0\,\,\text{as}\,\,n\to \infty$$

Answer 2

Observe que $f_{n+1} = x f_n$ como $x\in[0,1]$ tienes que $f_n$ es monótona. Usa el teorema de Dini Enlace para completar la prueba.

Answer 3

Tenga en cuenta que $f_n'(x)=nx^{n-1}-(n+1)x^n=x^{n-1}\bigl(n-(n+1)x\bigr)$ . Por lo tanto, el máximo de $f_n$ est $f_n\left(\frac n{n+1}\right)$ . Pero $$f_n\left(\frac n{n+1}\right)=\left(\frac n{n+1}\right)^n\frac1{n+1}.$$ Desde $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac n{n+1}\right)^n\frac1{n+1}=0,$$ su secuencia converge uniformemente.

Answer 4

Obsérvese en primer lugar que podemos escribir $x^n-x^{n+1}=x^n(1-x)$ .

Dado $0<\varepsilon<1$ si $1-\varepsilon<x\leq 1$ entonces $$ x^n(1-x)\leq1-x<\varepsilon,$$ mientras que si $0\leq x\leq 1-\varepsilon$ entonces $$ x^n(1-x)<x^n<\varepsilon$$ para todas las $n$ . Por lo tanto $f_n\to 0$ uniformemente en $[0,1]$ .