¿Existe una interpretación física de las condiciones de contorno de Neumann para la ecuación libre de Schrodinger en un dominio?

Question

Dejemos que $\Omega$ sea un dominio en $\mathbb{R}^n$ . Consideremos la ecuación de Schrodinger libre e independiente del tiempo $\Delta \psi = E\psi$ Las soluciones sujetas a las condiciones de contorno de Dirichlet pueden interpretarse físicamente como los estados estacionarios de una partícula atrapada en un pozo infinito alrededor de $\Omega$ . ¿Existen buenas interpretaciones físicas de las soluciones sujetas a las condiciones de contorno de Neumann?

Para las otras dos de las "tres grandes" ecuaciones elípticas, entiendo la interpretación física de ambas condiciones de contorno. Así que supongo que estoy preguntando cuál es la mejor manera de rellenar la entrada que falta en esta tabla:

$$ \begin{array}[c|ccc] \mbox{} & \mbox{Dirichlet condition} & \mbox{Neumann condition} \\ \hline \\ \Delta \psi = \psi_t & \mbox{zero temperature boundary} & \mbox{perfect insulating boundary}\\ \Delta \psi = i\psi_t & \mbox{infinite potential well} & \mbox{???} \\ \Delta \psi = \psi_{tt} & \mbox{fixed-boundary membrane} & \mbox{free-boundary membrane} \end{array} $$

PS- Si se imponen condiciones mixtas, es decir, Dirichlet en algunas componentes de la frontera y Neumann en otras, entonces se pueden interpretar las soluciones como soluciones simétricas de la ecuación en el dominio (más grande) definido por la reflexión a través de las componentes de la frontera Neumann.

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Mi convención es $\Delta = -\nabla\cdot\nabla = -\sum \partial_i^2$ por lo que el operador, una vez fijadas las condiciones de contorno, es autoadjunto y positivo-(semi)definido en su dominio de definición. Creo que esto se llama el "laplaciano del geómetra".

Answer 1

La pregunta se refiere a la maximización de la probabilidad, que es una función del único parámetro $\rho \in [-1,1]$ encontrando sus puntos críticos. Entre ellos se encuentran los ceros de la derivada del logaritmo de la probabilidad. En este caso, la derivada de la probabilidad logarítmica es una función racional de $\rho$ El numerador es un polinomio cúbico y el denominador es un polinomio cuaternario (igual a $(1-\rho^2)^2$ ). Dado que cualquier polinomio cúbico puede tener hasta tres raíces reales, ¿cómo podemos estar seguros de que hay un único ¿máximo de la probabilidad?

Pues no podemos: como señala Lehmann, puede haber dos máximos locales. Pero no más que eso. La razón es que siempre que haya dos (en cualquier parte de los números reales, no sólo en el rango $[-1,1]$ ), entonces -porque cualquier polinomio es diferenciable- debe haber un mínimo local entre ellos. Ese mínimo local correspondería a una tercera raíz, y eso es todo lo que puede haber.

Este argumento puede apreciarse observando los gráficos de algunas de las funciones que realmente aparecen. En ambas figuras, la curva azul punteada representa la probabilidad logarítmica, la curva roja punteada representa su derivada y la curva dorada sólida es el numerador de la derivada, el polinomio cúbico de la pregunta.

(Esta situación sólo puede darse cuando ambos $\sum x_i^2$ y $\sum y_i^2$ son sensiblemente inferiores a $n$ lo cual es cada vez más improbable ya que $n$ se hace grande. En esta figura, ambos valores son $0.08 n$ .)

Se pueden ver dos máximos locales del log likelood, uno cerca de cada extremo. Por lo tanto, entre ellos debe haber un mínimo local, que se aprecia en la parte inferior de la curva en "U" poco profunda, cerca de $\rho=0$ . Tres ceros de la derivada y su numerador son visibles donde las curvas roja y dorada cruzan el $\rho$ eje: uno de ellos está muy cerca de $0$ Una es negativa y la otra positiva. (Esta es una situación en la que los datos son tan inconsistentes con el modelo que el método de máxima verosimilitud no hará un buen trabajo para estimar $\rho$ que en este caso es $0.13$ .)

La siguiente cifra es más realista. El valor de $\rho$ es el mismo pero esta vez $\sum x_i^2 = n = \sum y_i^2$ . La derivada tiene exactamente un cero real y (por tanto) la probabilidad tiene como mucho un máximo local en el interior del dominio, $(-1,1)$ .

Tenga en cuenta que $\pm 1$ son siempre puntos críticos (la derivada se vuelve ilimitada a medida que se acerca a estos puntos finales) y siempre hay que tenerlos en cuenta. Sin embargo, no es difícil demostrar que nunca serán máximos locales a menos que los datos estén perfectamente correlacionados o perfectamente anticorrelacionados.

Answer 2

Supongamos que se quiere analizar el comportamiento estacionario de una partícula en un pozo de potencial que es simétrico con respecto a $x=0$ (foto de abajo). Para simplificar su cálculo, podría utilizar como condición de contorno que $\frac{\partial \psi(x)}{\partial x}=0$ y resolver la ecuación de Schroedinger sólo para x>0. Esta condición de contorno sólo refleja la naturaleza simétrica del problema. Además, equivale a exigir que el valor de la expectativa del impulso sea $0$ en $x=0$ que es lo que se espera de una solución estacionaria para un pozo de potencial simétrico. También se puede extender esto a las ecuaciones de Schroedinger no estacionarias con un pozo de potencial simétrico y condiciones iniciales simétricas, es decir $\Psi(x,t=0)$ es simétrica en torno a $x=0$ .

Por lo tanto, la "etiqueta" que se podría utilizar es "plano de simetría para la función potencial".