Relevancia del espinor en la electrodinámica relativista (clásica)

Question

Estoy siguiendo un curso sobre relatividad y electrodinámica (no el "cuántico"), y en los apuntes de clase se introduce el concepto de espinor mediante un mapa entre una base ortogonal en el espaciotiempo de Minkowski y las matrices de pauli con la matriz idéntica como parte temporal, como

$$ T: M^4 \rightarrow H(2,C) $$ $$ T(e_0) = I,\,\,\,\, T(e_i) = \sigma_i, i = 1,2,3 $$

Introduce algunas fórmulas como el mapeo directo y su inverso como $$ v_i = \frac{1}{2}Tr(\hat{v}\sigma_i) $$ y la norma como el determinante de la matriz hermitiana resultante. Explica que SL(2,C) es un doble recubrimiento del grupo de Lorentz. Y eso es todo. En los apuntes no se vuelve a hablar del espinor.

Así que me pregunto, ¿por qué se introducen en un curso sobre electrodinámica relativista clásica? ¿pueden explicarse algunos fenómenos usando espinores que no pueden explicarse usando los viejos y buenos 4-vectores? o ¿debo tomarlo como una curiosidad matemática hasta que me introduzca en la electrodinámica cuántica y el espinor de Dirac (que sé que es la suma directa de un espinor izquierdo y derecho de Weyl)?

Answer 1

Las transformaciones del tensor de Faraday por el mapa de espinores y los cálculos de la transformación de Lorentz suelen ser menos complicados que sus $S0(1,\,3)$ contrapartidas.

Incluso los cálculos EM más cotidianos y mundanos (sin necesidad de hacer transformaciones de Lorentz) pueden beneficiarse de esto: He escrito muchas líneas de código para simular la propagación electromagnética, y utilizo la siguiente representación casi exclusivamente en mis códigos: el código se vuelve MUCHO menos complicado y mucho más legible - y lo que es más importante, fácil de mantener - en esta notación (es necesario escribir en un lenguaje OO (para permitir clases de tensor, cuaternión, matriz, etc.) con sobrecarga de operadores implementada para que estos comentarios sean válidos. C++, Ada y creo que Python y la versión más moderna de Fortran también cumplen los requisitos (sólo tengo experiencia directa con los dos primeros)). También hay una modesta aceleración del código para algunas operaciones de espinor, pero eso es cada vez menos importante en estos días.

Podemos escribir el tensor de Faraday en el espacio de $2\times2$ Las matrices hermitianas son las siguientes:

$$\begin{array}{lcl}F_\pm &=& \left(\begin{array}{cc}E_z & E_x - i E_y\\E_x + i E_y & -E_z\end{array}\right) \pm i \,c\,\left(\begin{array}{cc}B_z & B_x - i B_y\\B_x + i B_y & -B_z\end{array}\right)\\ & =& E_x \sigma_1 + E_y \sigma_2+E_z\sigma_3 + i\,c\,\left(B_x \sigma_1 + B_y \sigma_2+B_z\sigma_3\right)\end{array}\tag 1$$

donde a menudo se mantiene tanto el $+$ y $-$ forma pero se desecha la parte de la frecuencia negativa. En esta notación, $F_+$ es la parte izquierda del campo con polarización circular y $F_-$ a la derecha.

Las matrices de espín de Pauli son simplemente las unidades de cuaterniones imaginarios de Hamilton reordenadas y donde $i=\sigma_1\,\sigma_2\,\sigma_3$ para que $i^2 = -1$ . Cuando los marcos de referencia inerciales se desplazan mediante una transformación de Lorentz adecuada:

$$\Lambda = \exp\left(\frac{1}{2}W\right)\tag 2$$

donde:

$$W = \left(\eta^1 + i\theta \chi^1\right) \sigma_1 + \left(\eta^2 + i\theta \chi^2\right) \sigma_2 + \left(\eta^3 + i\theta \chi^3\right) \sigma_3\tag3$$

codifica el ángulo de rotación de la transformación $\theta$ los cosenos de dirección de $\chi^j$ de sus ejes de rotación y sus rapideces $\eta^j$ las entidades $F_\pm$ se someten al mapa de espinores:

$$F_\pm \mapsto \Lambda \,F_\pm \Lambda^\dagger\tag 4$$

Podemos escribir las ecuaciones de Maxwell en su forma de cuaterniones:

$$\begin{array}{lcl} \left(c^{-1}\partial_t + \sigma_1 \partial_x + \sigma_2 \partial_y + \sigma_3 \partial_z\right) \,F_+ &=& 0\\ \left(c^{-1}\partial_t - \sigma_1 \partial_x - \sigma_2 \partial_y - \sigma_3 \partial_z\right) \,F_- &=& 0\end{array}\tag 5$$

que son en realidad la ecuación de Dirac (cuando se utilizan espinores de Weyl en lugar de los de Dirac) para una partícula sin masa.

Ver mi respuesta aquí para obtener más información sobre los significados físicos de lo anterior.

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Pregunta de la OP

...me gustaría saber cuál es la relación (¿mapping?) entre el tensor de Faraday en Minkowski y éste..

Son idéntico en el sentido de que:

1. Si se resuelve (5) con las condiciones de contorno apropiadas y otras formas de las ecuaciones de Maxwell con las mismas condiciones de contorno, entonces las componentes del campo que se leen en (1) como funciones del tiempo y el espacio serán exactamente las mismas respuestas que se obtienen con cualquier otro método de solución;

2. Si transformas entre fotogramas relativamente potenciados y rotados utilizando (4), obtendrás exactamente la misma respuesta que obtienes actuando a la izquierda y a la derecha de la forma ganada del tensor de Faraday con la correspondiente transformación de Lorentz escrita en la representación matricial de $SO(1,\,3)$ . Testigo de ello es que la forma de (4) se parece exactamente a la transformación del tensor de rango 2 (en la medida en que también se necesitan dos matrices de Lorentz para ello).

Las "diferencias" son:

1. La diferencia entre las formas contravariantes y covariantes de $F$ son difíciles de detectar y sutiles en esta notación. Multiplicando el tensor de Faraday de rango dos por la métrica de Minkowski $\eta$ , es decir subir o bajar los índices es, por (1), tomar el conjugado hermitiano negativo de la $F_\pm$ cantidades.

2. Dos impulsos, ambos $+\Lambda\in SL(2,\,\mathbb{C})$ y $-\Lambda\in SL(2,\,\mathbb{C})$ en la forma (2) tienen la misma acción que un solo impulso en $SO(1,\,2)$ porque $SL(2,\,\mathbb{C})$ es la doble cubierta simplemente conectada de $SO(1,\,3)$ - los dos grupos son idénticos en lo pequeño, pero tienen una topología global diferente.