¿La serie $ \sum_k^\infty \frac{k!}{k^k}$ convergen a un número irracional y tiene algún significado o aplicaciones?

Question

Sé que la serie

$$ \sum_k^\infty \frac{k!}{k^k} $$

converge por la prueba de la proporción.

La suma calculada por wolfram alpha es $~1.87985386217525853348630614507096$ lo que me parece bastante irracional.

Pero, ¿es significativo de alguna manera? ¿Hay alguna prueba de que es un número irracional? ¿Hay alguna aplicación de esta serie?

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Me olvidé por completo de la aproximación de Stirling para el factorial.

Ya que para $k \rightarrow +\infty$ los enfoques factoriales

$$ k! \sim \sqrt{2 \pi k} \frac{k^k}{e^k} $$

Así que parece obvio que la serie da un número irracional.

Answer 1

Puede ser relevante observar que: $$\begin{eqnarray*}\sum_{k\geq 1}\frac{k!}{k^k}=\int_{0}^{+\infty}\sum_{k\geq 1}\frac{x^k}{k^k}e^{-x}\,dx&=&\int_{0}^{+\infty}\sum_{k\geq 1}(-1)^{k-1} \frac{x^k}{(k-1)!} e^{-x}\int_{0}^{1}(y\log y)^{k-1}\,dy\,dx\\&=&\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{1}xe^{-x}\cdot y^{-xy}\,dy\,dx\\&=&\int_{0}^{1}\frac{dy}{(1+y\log(y))^2}\\&=&\int_{0}^{+\infty}\frac{dz}{e^{z}\left(1-z e^{-z}\right)^2}.\end{eqnarray*}$$ Ahora bien, el enfoque clásico para demostrar que alguna constante es un número irracional es proporcionar alguna aproximación racional exacta, demasiado exacta para ser aproximaciones de un número racional. La última integral no es la más manejable que he conocido en mi vida, pero Polinomios de Laguerre puede ser una buena manera de hacerlo.

Por otro lado, sólo el orden de crecimiento de los coeficientes de una serie que converge a $\alpha$ nos dice nada sobre la racionalidad o irracionalidad de $\alpha$ . Considere, por ejemplo:

$$\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^3}=\zeta(3)\not\in\mathbb{Q},\qquad \sum_{n\geq 1}\frac{F_n}{19^n}=\frac{19}{341}\in\mathbb{Q}.$$