Ramificación sobre curvas hiperelípticas.

Question

Estoy usando Rick Miranda del libro "las curvas Algebraicas y las Superficies de Riemann" para probar y ver algunas cosas acerca de hyperelliptic curvas. He completado casi la totalidad de uno de los ejercicios, pero hay una parte de mi prueba de que no estoy seguro de. La pregunta (pregunta R) 2), página 245), es como sigue:

Deje $X$ ser una curva algebraica de género $g\geq 2$. Mostrar que $2\notin G_P(|K|)$ si y sólo si $X$ es hyperelliptic y $P$ es un punto de ramificación.

En este caso, $2\notin G_P(|K|)$ simplemente significa que no existe una función de meromorphic con un polo de orden exactamente 2 en $P$ y no otros polos (creo que esta es la definición correcta a utilizar). Técnicamente, $G_P(|K|)$ es el conjunto de la brecha de los números.

Me han demostrado que si la parte fina. La otra dirección que yo creo que es cierto porque habrá dos puntos en la preimagen de la proyección de a $\mathbb P^1$ si $P$ no está ramificado. Por lo tanto, quiero decir que si hay un poste en $P$, habrá un polo al otro punto en la preimagen. Pero esto no puede en general ser cierto, porque por Riemann-Roch aplica para el divisor $nP$ para suficientemente grande $n$, obtenemos una función con un polo sólo en $P$. Así alguien puede ayudar punto donde me estoy equivocando?

Answer 1

Usted no tiene una proyección a $\mathbf{P}^1$. Usted tiene que "construir". El hecho de que $2$ no es una brecha de número de $P$ significa que existe una función racional $f$ de manera tal que el divisor de polos $(f)_{\infty}$ es igual a $2\cdot P$. Considerar los morfismos $\overline{f}:X\to \mathbf{P}^1$ dado por esta función racional $f$. Es de grado $2$ (debido a $\deg \overline{f} = \deg (f)_{\infty} = \deg (f)_{0}$). Así que usted tiene un hyperelliptic mapa en $X$. Por otra parte, se ve claramente que en $P$ es una ramificación punto porque tiene multiplicidad dos en el divisor de $f$.

Así que esto demuestra que, si $2$ no es una brecha de número de $P$, $X$ tiene un hyperelliptic mapa para que $P$ es la ramificación de los puntos.

Vamos a demostrar la otra implicación. Es igual de fácil.

Ahora, supongamos que el $X$ es hyperelliptic y deje $P$ ser un punto de ramificación. Esto significa que hay un número finito de morfismos $\pi:X\to \mathbf{P}^1$ grado $2$ tal que $P$ ramifies. Ahora, podemos y asume que $P$ mapas a $\infty$. De hecho, la composición con un automorphism que envía a $\pi(P)$ $\infty$va a hacer el truco. Ahora, considere el divisor de polos de $\pi$. Este es el divisor $(f)_{\infty} = 2\cdot [P]$. De hecho, ya sabemos que el $P$ es en el apoyo de $(f)_{\infty}$ porque $P$ mapas a $\infty$ y también sabemos que $P$ ramifies. Por lo que debe tener multiplicidad 2. Así que podemos ver que hay una función de meromorphic $f$ $X$ tal que $(f)_{\infty} =2 [P]$. Pero esto significa precisamente que $2$ no es una brecha de número de $P$.

Usted puede demostrar que, si $X$ es hyperelliptic de género $g\geq 2$, el hyperelliptic mapa de $X\to \mathbf{P}^1$ tiene exactamente $2g+2$ ramificación puntos, y por cada punto de ramificación $P$, la brecha de la secuencia de $\Gamma(P)$ $P$ es igual a $$\{1,3,5,\ldots,2g-1\}.$$ Hence, each $P$ has weight $g(g-1)/2$, and the ramification points are exactly the Weierstrass points of $X$.