El subgrupo de conmutadores de$GL_{2}(\mathbb{Z}/p^{2}\mathbb{Z})$ es$SL_{2}(\mathbb{Z}/p^{2}\mathbb{Z})$

Question

¿Cómo haría para mostrar esto, donde$p$ es un primo impar? La inclusión$[GL_{2}(\mathbb{Z}/p^{2}\mathbb{Z}),GL_{2}(\mathbb{Z}/p^{2}\mathbb{Z})] \subseteq SL_{2}(\mathbb{Z}/p^{2}\mathbb{Z})$ es relativamente clara. Me pregunto si la prueba para la otra inclusión se deriva del resultado de que$[GL_{2}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}),GL_{2}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})]=SL_{2}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$.

He intentado usar el resultado anterior con el homomorfismo natural de$GL_{2}(\mathbb{Z}/p^{2}\mathbb{Z})$ a$GL_{2}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ para demostrar esto, pero sin éxito.

Answer 1

Vamos a trabajar en $\mathrm{GL}_n$, dejando sólo a un lado el caso de $(n,p)=(2,2)$, por lo que el $\mathrm{SL}_n(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})$ es la derivada de los subgrupos de $\mathrm{GL}_n(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})$.

Considere la posibilidad de una matriz de $g$$\mathrm{SL}_n(\mathbf{Z}/p^2\mathbf{Z})$. Luego de su imagen, en $\mathrm{SL}_n(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})$ es un producto de los conmutadores de $\mathrm{GL}_n(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})$; la elevación esto demuestra que no existe un producto $c$ de los conmutadores tal que $gc^{-1}$ está en el núcleo de la reducción de mapa de $\mathrm{SL}_n(\mathbf{Z}/p^2\mathbf{Z})\to\mathrm{SL}_n(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})$, que es exactamente el conjunto de matrices de la forma $I+pA$ $A\in\mathrm{M}_n(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})$ de traza cero. Esta matriz es un producto de matrices de la forma: $I+pE_{ij}$ $i\neq j$ o$I+p(E_{ii}-E_{jj})$$i\neq j$. Que estas matrices son producto de los conmutadores es un simple ejercicio.