¿Por qué la matriz reducida $\left(\begin{array}{ccc|c}0&1&0&-7\\ 0&0&1&10\end{array}\right)$ ¿tiene infinitas soluciones?

Question

$$\left(\begin{array}{ccc|c}0&1&0&-7\\ 0&0&1&10\end{array}\right)$$

Pensaba que el requisito para que una matriz tenga una solución única era que cuando cada variable es líder. Parece que los dos 1 en la matriz anterior son líderes y las otras variables son 0. Entonces, ¿por qué esta matriz no tiene sólo una solución única?

Answer 1

Se trata de una pregunta sencilla pero entretenida. El sistema de ecuaciones lineales es básicamente una de las cosas más importantes que hay que entender en Álgebra Lineal.

Empecemos por lo básico. Como se ha señalado este es un sistema de 3 variables - que sea $(a, b ,c)$ . Por lo tanto su ecuación puede ser reescrita a partir de su:

$$\left(\begin{array}{ccc|c}0&1&0&-7\\ 0&0&1&10\end{array}\right)$$

a

$$\begin{eqnarray*} {0a + 1b + 0c}&=&{-7} \\ {0a + 0b + 1c}&=&{10} \end{eqnarray*}$$

La solución es un vector formado exactamente con esas tres variables.

La más obvia es que no te importa $a$ y por lo tanto $a$ podría ser cualquier cosa. Esto nos lleva a cualquier vector correspondiente a $(a, b, c) = (a, -7, 10)$ como solución.

Encontrar soluciones

Decir que se puede ver si hay una solución utilizando el Regla de Frobenius . Dice básicamente que la solución existe exactamente cuando el sistema de ecuaciones $Ax=b$ es igual a $rank(A) = rank(A | b)$ .

Número de soluciones

Para determinar cuántas soluciones (para el sistema lineal $Ax = b$ ) hay 3 reglas simples (utilizando el rango de la matriz):

Donde $n$ es el número de variables y esperamos que la regla de Frobenius esté en vigor => para $Ax=b$ es igual a $rank(A) = rank(A | b)$ . Más matriz $A$ está en el espacio $n \times m$ , donde $n$ es el número de columnas (como se ha descrito anteriormente) y $m$ es el número de filas.

1. Si $rank(A | b)$ es menor que $n$ => Hay número infinito de soluciones (ya que el sistema de ecuaciones lineales es sistema indeterminado )

2. Si $rank(A | b)$ es igual a $n$

   a) $n = m$ => Hay *sólo una solución única** (ya que el sistema de ecuaciones lineales es sistema no singular/invertible - aunque en nuestra escuela lo llamamos regular)

   b) $n < m$ , simplemente dijo más (linealmente independiente) filas (o ecuaciones si se quiere) => Hay no hay solución exacta (ya que el sistema de ecuaciones lineales es sistema sobredeterminado ), pero se puede equipar con mínimos cuadrados a un posible ajuste cerrado.

Esta ecuación

Hay $n = 3$ (número de variables) y $rank(A) = rank(A | b) = 2$

$$\left(\begin{array}{ccc|c}0&1&0&-7\\ 0&0&1&10\end{array}\right)$$

Answer 2

Porque $(x_1, -7, 10)$ es una solución al sistema.

Para tener una solución única, no podemos tener ninguna columna no-pivotante, en este caso, la primera columna es una columna no-pivotante.

Answer 3

Eso es porque las soluciones son $\;y=-7,\enspace z=10$ y $x$ puede tener cualquier valor, por lo que el conjunto de soluciones en forma vectorial es $$\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\\-7\\10\end{bmatrix}= x\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\-7\\10\end{bmatrix}.$$

Answer 4

Usted habla de que "cada variable es líder". Pero la primera variable no es líder. Así que la afirmación sobre las variables principales es coherente con este ejemplo.

Answer 5

Piensa intuitivamente: el sistema representado aquí son 2 ecuaciones en tres incógnitas. Si tiene alguna solución, tendrá una línea de soluciones (aquí es rápido ver el $x$ es una variable sin restricciones).