Función continua pero no diferenciable de Hölder.

Question

¿Cómo se puede demostrar que la función$$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n\alpha}\cos(2^nx)$$ for $ \ alpha \ in] 0,1 [$ is $ \ alpha$-Hölder continuous but not differentiable at any point of $ [0,1] $?

Intenté escribir$f(x+h)-f(x)$ y usar fórmulas de suma para el coseno, pero no obtengo nada ...

Answer 1

Este es uno de los bien saben los ejemplos de la función de Weierstrass. Hardy estudiado Hölder-la continuidad de las funciones de Weierstrass del nondifferentiable función, G. H. Hardy, Trans. Amer. De matemáticas. Soc., 17 (1916), 301-325.. Aquí es una prueba de Hölder-continuidad para su caso.

Teorema. Vamos $0<a<1$, $b>1$ y $ab>1$, entonces la función $$ f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty a^n\cos(b^n x) $$ es $(-\log_b a)$-Hölder continua.

Prueba. Considere la posibilidad de $x\in\mathbb{R}$$h\in(-1,1)$, luego $$ f(x+h)-f(x)= \sum\limits_{n=1}^\infty a^{n}\cos(b^n(x+h))-\cos(b^nx))= $$ $$ -2\sum\limits_{n=1}^\infty a^{n}\sin(2^{-1}b^n(2x+h))\sin(2^{-1}b^{n}h)= $$ Desde $b>1$ $h\in(-1,1)$ existe $p\in\mathbb{N}$ tal que $2^{-1}b^{p}|h|\leq 1<b^p|h|$, por lo que $$ |f(x+h)-f(x)|\leq 2\sum\limits_{n=1}^\infty a^{n}|\sin(2^{-1}b^{n}(2x+h))||\sin(2^{-1}b^{n}h)|\leq 2\sum\limits_{n=1}^\infty a^{n}|\sin(2^{-1}b^{n}h)|= $$ $$ 2\sum\limits_{n=1}^p^{n}|\sin(2^{-1}b^{n}h)|+ 2\sum\limits_{n=p+1}^\infty a^{n}|\sin(2^{-1}b^{n}h)|\leq 2\sum\limits_{n=1}^p^{n}|2^{-1}b^{n}h|+ 2\sum\limits_{n=p+1}^\infty a^{n}= $$ $$ \frac{ab|h|}{ab-1}(a^p b^p-1)+\frac{2a}{1}a^p\leq \frac{ab|h|}{ab-1}^p b^p+\frac{2a}{1}a^p $$ Desde $2^{-1}b^{p}|h|\leq 1<b^p|h|$$0<a<1$, luego tenemos a $b^p|h|<2$$a^p\leq |h|^{-\log_b a}$. Por lo tanto $$ |f(x+h)-f(x)|\leq \frac{ab|h|}{ab-1}^p b^p+\frac{2a}{1}a^p\leq \frac{2ab}{ab-1}^p +\frac{2a}{1}a^p\leq $$ $$ \left(\frac{2ab}{ab-1} +\frac{2a}{1}\right)|h|^{-\log_b un}= \frac{b-1}{(ab-1)(1-a)}|h|^{-\log_b un} $$ Esto significa que $f$ $(-\log_b a)$- Hölder continua.

Corolario. Para $\alpha\in(0,1)$ la función $$ f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty 2^{-n\alpha}\cos(2^n x) $$ es $\alpha$-Hölder continua.

Prueba Aplicar el teorema anterior con $a=2^{-\alpha}$$b=2$.

Como para la prueba de la diferenciabilidad de la nada, no sé de una breve prueba. El problema es que el estándar de Weierstrass argumento no es aplicable aquí - parámetros $a$, $b$ debe satisfacer la desigualdad $ab>1+\frac{3\pi}{2}$. Así que me parece que uno debe repetir todos los pasos de Hardy prueba.