Dejemos que $V=M_n\left(\mathbb{R}\right)$ y Deja que $P\in V$ sea alguna matriz real invertible.
Definimos el operador $T:V\to V$ por: $\ \forall A\in V,\ T(A)=P^{-1}AP$ .
El operador adjunto $T^*$ con respecto al producto interior estándar $\left<A,B\right>=tr(B^tA)$ viene dada por $\forall A\in V, T^*(A)=\left(P^{-1}\right)^{t}AP^t$ .
¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para $T$ para ser autoadjunto?
Puedo demostrar que es suficiente para $P$ sea autoadjunto, y que es necesario que $P$ para ser normal. Pero estoy atascado en mostrar que uno de estos es ambos necesario y suficiente..
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Resulta que: la autoadhesión es suficiente y la normalidad es necesaria, pero ninguna de las dos es necesaria y suficiente.
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¿Sabes que todo operador autoadjunto admite una base propia ortonormal con valores propios reales (también conocido como teorema espectral de los operadores autoadjuntos) y viceversa? Intenta calcular los valores propios de tu operador.
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@Omnomnomnom Con la ayuda de tu pista llegué a la conclusión de que P sea autoadjunto es necesario y suficiente, pero esto contradice tu comentario así que estoy un poco confundido XD
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@Evan la otra posibilidad es que $A$ es conjunto sesgado, es decir. $A^T = -A$
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@Omnomnomnom Debería haberme dado cuenta. ¡Gracias por tu ayuda!