Grupos Finitos: $a \in G \implies a \in H$

Question

Deje $G$ ser un grupo finito y deje $H$ ser un subgrupo normal. Deje $a$ ser un elemento de G y supongamos que $\gcd(|a|,[G : H]) = 1$. Mostrar que $a$$H$.

Answer 1

Considerar el factor grupo $G/H$. Desde $a\in G$, $aH$ es un elemento de $G/H$.

El recuerdo y la aplicación del Teorema de Lagrange, tenemos que $|aH|$ debe dividir $|G/H|$.

Ahora, que $\gcd(a, |G:H|)=1$ implica que lo que sobre el orden de las $aH$$G/H$?

Answer 2

Aquí está mi intento en esta pregunta, creo que es correcto. Hay algunas sugerencias que la comunidad pudiera enviar a mi manera?

El cociente $G/H$ es un grupo como $H$ es normal en $G$. $G$ y $H$ son grupos finitos para $[G:H]=|G/H$|. Deje $[G:H]=m$ e decir $|a|=n$. Para $aH\in G/H$, $\langle aH \rangle \leq G/H$. Por definición, el orden de $a$ es el menor entero $n$ tal que $a^n = e$. Ahora $(aH)^n = a^nH = eH = H$, thus $|\langle aH\rangle|=n$. Using Lagrange's Theorem $[G:H]/|\langle aH\rangle| = m/n$, but $mcd(n,m)=1$. This forces $|a|=1$ hence $=e$ and $\en%H $. Moreover, $ay$ is the identity element in $G/H$.